1. **Planteamiento del problema:** Calcular la derivada direccional de la función de temperatura $$T(x,y) = 4x^2 + 2y^2 - 4xy$$ en el punto $$P = (1,1)$$ en la dirección del vector $$\vec{v} = (3,4)$$. 2. **Fórmula para la derivada direccional:** La derivada direccional de una función $$f(x,y)$$ en un punto $$P$$ en la dirección del vector unitario $$\vec{u}$$ es: $$ D_{\vec{u}}f(P) = \nabla f(P) \cdot \vec{u} = \frac{\partial f}{\partial x}(P) u_1 + \frac{\partial f}{\partial y}(P) u_2 $$ 3. **Cálculo del gradiente $$\nabla T$$:** $$ \frac{\partial T}{\partial x} = 8x - 4y $$ $$ \frac{\partial T}{\partial y} = 4y - 4x $$ Evaluando en $$P=(1,1)$$: $$ \frac{\partial T}{\partial x}(1,1) = 8(1) - 4(1) = 4 $$ $$ \frac{\partial T}{\partial y}(1,1) = 4(1) - 4(1) = 0 $$ Entonces: $$ \nabla T(1,1) = (4,0) $$ 4. **Vector unitario en dirección de $$\vec{v} = (3,4)$$:** $$ \|\vec{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 $$ $$ \vec{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) $$ 5. **Derivada direccional:** $$ D_{\vec{u}}T(1,1) = (4,0) \cdot \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) = 4 \times \frac{3}{5} + 0 = \frac{12}{5} = 2.4 $$ 6. **Interpretación:** La temperatura aumenta a razón de 2.4 °C por metro en la dirección del vector $$\vec{v}$$ desde el punto $$P$$. --- 7. **Planteamiento para temperatura promedio:** Calcular la temperatura promedio $$\bar{T}$$ sobre la región $$R = [0,2] \times [0,1]$$: $$ \bar{T} = \frac{1}{A(R)} \iint_R T(x,y) \, dA $$ donde $$A(R) = 2 \times 1 = 2$$. 8. **Integral doble:** $$ \bar{T} = \frac{1}{2} \int_0^1 \int_0^2 (4x^2 + 2y^2 - 4xy) \, dx \, dy $$ 9. **Integración respecto a $$x$$:** $$ \int_0^2 (4x^2 + 2y^2 - 4xy) \, dx = \int_0^2 4x^2 \, dx + \int_0^2 2y^2 \, dx - \int_0^2 4xy \, dx $$ Calculamos cada integral: $$ \int_0^2 4x^2 \, dx = 4 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 4 \times \frac{8}{3} = \frac{32}{3} $$ $$ \int_0^2 2y^2 \, dx = 2y^2 [x]_0^2 = 2y^2 \times 2 = 4y^2 $$ $$ \int_0^2 4xy \, dx = 4y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 4y \times 2 = 8y $$ Sumando: $$ \int_0^2 (4x^2 + 2y^2 - 4xy) \, dx = \frac{32}{3} + 4y^2 - 8y $$ 10. **Integración respecto a $$y$$:** $$ \int_0^1 \left( \frac{32}{3} + 4y^2 - 8y \right) dy = \int_0^1 \frac{32}{3} dy + \int_0^1 4y^2 dy - \int_0^1 8y dy $$ Calculamos cada integral: $$ \int_0^1 \frac{32}{3} dy = \frac{32}{3} [y]_0^1 = \frac{32}{3} $$ $$ \int_0^1 4y^2 dy = 4 \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = \frac{4}{3} $$ $$ \int_0^1 8y dy = 8 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = 8 \times \frac{1}{2} = 4 $$ Sumando y restando: $$ \frac{32}{3} + \frac{4}{3} - 4 = \frac{36}{3} - 4 = 12 - 4 = 8 $$ 11. **Temperatura promedio:** $$ \bar{T} = \frac{1}{2} \times 8 = 4 $$ 12. **Interpretación:** La temperatura promedio en toda la placa metálica es 4 °C, lo que indica el valor medio de temperatura considerando toda el área del rectángulo.