1. **Planteamiento del problema:** Calcular la derivada direccional de la función de temperatura $$T(x,y) = 4x^2 + 2y^2 - 4xy$$ en el punto $$P=(1,1)$$ en la dirección del vector $$\vec{v} = (3,4)$$. 2. **Fórmula para la derivada direccional:** La derivada direccional de una función $$T(x,y)$$ en un punto $$P$$ en la dirección del vector unitario $$\vec{u}$$ se calcula como: $$ D_{\vec{u}}T = \nabla T(P) \cdot \vec{u} $$ Donde $$\nabla T(P)$$ es el gradiente de $$T$$ en $$P$$ y $$\vec{u} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$$ es el vector unitario en la dirección de $$\vec{v}$$. 3. **Calcular el gradiente $$\nabla T(x,y)$$:** $$ \frac{\partial T}{\partial x} = 8x - 4y $$ $$ \frac{\partial T}{\partial y} = 4y - 4x $$ Entonces, $$ \nabla T(x,y) = (8x - 4y, 4y - 4x) $$ 4. **Evaluar el gradiente en $$P=(1,1)$$:** $$ \nabla T(1,1) = (8(1) - 4(1), 4(1) - 4(1)) = (8 - 4, 4 - 4) = (4, 0) $$ 5. **Calcular el vector unitario $$\vec{u}$$:** $$ \|\vec{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$ $$ \vec{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) $$ 6. **Calcular la derivada direccional:** $$ D_{\vec{u}}T = \nabla T(1,1) \cdot \vec{u} = (4,0) \cdot \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) = 4 \times \frac{3}{5} + 0 \times \frac{4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 $$ **Interpretación:** La temperatura aumenta a razón de 2.4 °C por metro en la dirección del vector $$\vec{v}$$ en el punto $$P$$. --- 7. **Plantear la integral doble para la temperatura promedio:** La temperatura promedio sobre la región $$R = [0,2] \times [0,1]$$ se calcula como: $$ \bar{T} = \frac{1}{A(R)} \iint_R T(x,y) \, dA $$ Donde $$A(R) = 2 \times 1 = 2$$ es el área del rectángulo. 8. **Expresar la integral doble:** $$ \bar{T} = \frac{1}{2} \int_0^1 \int_0^2 (4x^2 + 2y^2 - 4xy) \, dx \, dy $$ 9. **Integrar primero respecto a $$x$$:** $$ \int_0^2 (4x^2 + 2y^2 - 4xy) \, dx = \int_0^2 4x^2 \, dx + \int_0^2 2y^2 \, dx - \int_0^2 4xy \, dx $$ Calculemos cada integral: - $$\int_0^2 4x^2 \, dx = 4 \int_0^2 x^2 \, dx = 4 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 4 \times \frac{8}{3} = \frac{32}{3}$$ - $$\int_0^2 2y^2 \, dx = 2y^2 \int_0^2 dx = 2y^2 \times 2 = 4y^2$$ - $$\int_0^2 4xy \, dx = 4y \int_0^2 x \, dx = 4y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 4y \times 2 = 8y$$ Sumando: $$ \int_0^2 (4x^2 + 2y^2 - 4xy) \, dx = \frac{32}{3} + 4y^2 - 8y $$ 10. **Integrar respecto a $$y$$:** $$ \int_0^1 \left( \frac{32}{3} + 4y^2 - 8y \right) dy = \int_0^1 \frac{32}{3} dy + \int_0^1 4y^2 dy - \int_0^1 8y dy $$ Calculemos cada integral: - $$\int_0^1 \frac{32}{3} dy = \frac{32}{3} [y]_0^1 = \frac{32}{3}$$ - $$\int_0^1 4y^2 dy = 4 \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = 4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$$ - $$\int_0^1 8y dy = 8 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = 8 \times \frac{1}{2} = 4$$ Sumando: $$ \int_0^1 \left( \frac{32}{3} + 4y^2 - 8y \right) dy = \frac{32}{3} + \frac{4}{3} - 4 = \frac{36}{3} - 4 = 12 - 4 = 8 $$ 11. **Calcular la temperatura promedio:** $$ \bar{T} = \frac{1}{2} \times 8 = 4 $$ **Interpretación:** La temperatura promedio en la placa metálica es 4 °C, lo que representa el valor medio de temperatura en toda la región $$R$$.