1. Planteamos el problema: Dada la función $$f(x,y) = x^3 + y^3 - 6(x^2 + y^2) + 9xy,$$ debemos calcular las derivadas parciales $$f_x$$ y $$f_y$$, evaluar el gradiente $$\nabla f(x,y)$$ en el punto $$(2,1)$$, y luego determinar y clasificar los puntos críticos de $$f$$. 2. Recordemos que el gradiente de una función $$f(x,y)$$ es el vector $$\nabla f = \left( f_x, f_y \right)$$ donde $$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$$ y $$f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$$. 3. Calculamos $$f_x$$: $$ f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( x^3 + y^3 - 6x^2 - 6y^2 + 9xy \right) = 3x^2 - 12x + 9y $$ 4. Calculamos $$f_y$$: $$ f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( x^3 + y^3 - 6x^2 - 6y^2 + 9xy \right) = 3y^2 - 12y + 9x $$ 5. Evaluamos el gradiente en el punto $$(2,1)$$: $$ f_x(2,1) = 3(2)^2 - 12(2) + 9(1) = 12 - 24 + 9 = -3 $$ $$ f_y(2,1) = 3(1)^2 - 12(1) + 9(2) = 3 - 12 + 18 = 9 $$ Por lo tanto, $$ \nabla f(2,1) = (-3, 9) $$ 6. Para encontrar los puntos críticos, igualamos $$f_x = 0$$ y $$f_y = 0$$: $$ 3x^2 - 12x + 9y = 0 \quad (1) $$ $$ 3y^2 - 12y + 9x = 0 \quad (2) $$ Dividimos ambas ecuaciones por 3 para simplificar: $$ \cancel{3}x^2 - \cancel{3}12x + \cancel{3}9y = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3y = 0 $$ $$ \cancel{3}y^2 - \cancel{3}12y + \cancel{3}9x = 0 \Rightarrow y^2 - 4y + 3x = 0 $$ 7. De la ecuación (1) despejamos $$y$$: $$ 3y = 4x - x^2 \Rightarrow y = \frac{4x - x^2}{3} $$ 8. Sustituimos en la ecuación (2): $$ \left( \frac{4x - x^2}{3} \right)^2 - 4 \left( \frac{4x - x^2}{3} \right) + 3x = 0 $$ Multiplicamos todo por 9 para eliminar denominadores: $$ (4x - x^2)^2 - 12(4x - x^2) + 27x = 0 $$ 9. Expandimos: $$ (4x - x^2)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot x^2 + (x^2)^2 = 16x^2 - 8x^3 + x^4 $$ Entonces: $$ 16x^2 - 8x^3 + x^4 - 48x + 12x^2 + 27x = 0 $$ Simplificamos términos semejantes: $$ x^4 - 8x^3 + (16x^2 + 12x^2) + (-48x + 27x) = 0 $$ $$ x^4 - 8x^3 + 28x^2 - 21x = 0 $$ 10. Factorizamos: $$ x(x^3 - 8x^2 + 28x - 21) = 0 $$ 11. Buscamos raíces del polinomio cúbico: Probamos $$x=1$$: $$ 1 - 8 + 28 - 21 = 0 $$ Entonces $$x=1$$ es raíz. Dividimos por $$x-1$$: $$ x^3 - 8x^2 + 28x - 21 = (x-1)(x^2 - 7x + 21) $$ 12. Resolvemos $$x^2 - 7x + 21 = 0$$: $$ \Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 49 - 84 = -35 < 0 $$ No hay raíces reales. 13. Por lo tanto, las raíces reales son $$x=0$$ y $$x=1$$. 14. Para $$x=0$$, calculamos $$y$$: $$ y = \frac{4(0) - 0^2}{3} = 0 $$ 15. Para $$x=1$$: $$ y = \frac{4(1) - 1^2}{3} = \frac{4 - 1}{3} = 1 $$ 16. Los puntos críticos reales son $$(0,0)$$ y $$(1,1)$$. 17. Para clasificar los puntos críticos, calculamos las segundas derivadas: $$ f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} f_x = \frac{\partial}{\partial x} (3x^2 - 12x + 9y) = 6x - 12 $$ $$ f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} f_y = \frac{\partial}{\partial y} (3y^2 - 12y + 9x) = 6y - 12 $$ $$ f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} f_x = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 - 12x + 9y) = 9 $$ 18. Calculamos el discriminante $$D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$$ en cada punto crítico. Para $$(0,0)$$: $$ f_{xx} = 6(0) - 12 = -12 $$ $$ f_{yy} = 6(0) - 12 = -12 $$ $$ D = (-12)(-12) - 9^2 = 144 - 81 = 63 > 0 $$ Como $$D > 0$$ y $$f_{xx} < 0$$, el punto es un máximo local. Para $$(1,1)$$: $$ f_{xx} = 6(1) - 12 = -6 $$ $$ f_{yy} = 6(1) - 12 = -6 $$ $$ D = (-6)(-6) - 9^2 = 36 - 81 = -45 < 0 $$ Como $$D < 0$$, el punto es una silla (punto de silla). **Respuesta final:** - $$\nabla f(2,1) = (-3, 9)$$ - Puntos críticos: $$(0,0)$$ máximo local, $$(1,1)$$ punto de silla. Referencia bibliográfica APA: Stewart, J. (2016). *Cálculo de varias variables* (7ª ed.). Cengage Learning.