1. **Planteamiento del problema:** Dada la función $$f(x,y) = x^3 + y^3 - 6(x^2 + y^2) + 9xy,$$ se pide calcular las derivadas parciales $$f_x$$ y $$f_y$$, evaluar el vector gradiente $$\nabla f(x,y)$$ en el punto $$(2,1)$$, y determinar y clasificar los puntos críticos de $$f$$. 2. **Cálculo de las derivadas parciales:** La derivada parcial respecto a $$x$$ es: $$f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^3 + y^3 - 6x^2 - 6y^2 + 9xy\right) = 3x^2 - 12x + 9y.$$ La derivada parcial respecto a $$y$$ es: $$f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^3 + y^3 - 6x^2 - 6y^2 + 9xy\right) = 3y^2 - 12y + 9x.$$ 3. **Evaluación del vector gradiente en $$(2,1)$$:** Sustituimos $$x=2$$ y $$y=1$$: $$f_x(2,1) = 3(2)^2 - 12(2) + 9(1) = 12 - 24 + 9 = -3,$$ $$f_y(2,1) = 3(1)^2 - 12(1) + 9(2) = 3 - 12 + 18 = 9.$$ Por lo tanto, $$\nabla f(2,1) = (-3, 9).$$ 4. **Determinación de puntos críticos:** Los puntos críticos ocurren donde $$f_x = 0$$ y $$f_y = 0$$ simultáneamente. Planteamos el sistema: $$\begin{cases} 3x^2 - 12x + 9y = 0 \\ 3y^2 - 12y + 9x = 0 \end{cases}$$ Dividimos ambas ecuaciones entre 3 para simplificar: $$\begin{cases} x^2 - 4x + 3y = 0 \\ y^2 - 4y + 3x = 0 \end{cases}$$ De la primera: $$3y = 4x - x^2 \implies y = \frac{4x - x^2}{3}.$$ Sustituimos en la segunda: $$\left(\frac{4x - x^2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{4x - x^2}{3}\right) + 3x = 0.$$ Multiplicamos todo por 9 para eliminar denominadores: $$ (4x - x^2)^2 - 12(4x - x^2) + 27x = 0.$$ Expandimos: $$ (4x - x^2)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot x^2 + (x^2)^2 = 16x^2 - 8x^3 + x^4,$$ entonces: $$16x^2 - 8x^3 + x^4 - 48x + 12x^2 + 27x = 0,$$ que simplifica a: $$x^4 - 8x^3 + 28x^2 - 21x = 0.$$ Factorizamos sacando $$x$$: $$x(x^3 - 8x^2 + 28x - 21) = 0.$$ 5. **Solución de la ecuación cúbica:** Probamos raíces racionales para $$x^3 - 8x^2 + 28x - 21 = 0$$ usando divisores de 21: $$\pm1, \pm3, \pm7, \pm21$$. Probamos $$x=1$$: $$1 - 8 + 28 - 21 = 0,$$ por lo que $$x=1$$ es raíz. Dividimos el polinomio entre $$x-1$$: $$x^3 - 8x^2 + 28x - 21 = (x-1)(x^2 - 7x + 21).$$ La ecuación cuadrática $$x^2 - 7x + 21 = 0$$ tiene discriminante: $$\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 49 - 84 = -35 < 0,$$ por lo que no tiene raíces reales. Entonces, las raíces reales son $$x=0$$ y $$x=1$$. 6. **Encontrar los valores de $$y$$ correspondientes:** Para $$x=0$$: $$y = \frac{4(0) - 0^2}{3} = 0.$$ Para $$x=1$$: $$y = \frac{4(1) - 1^2}{3} = \frac{4 - 1}{3} = 1.$$ Por lo tanto, los puntos críticos reales son $$(0,0)$$ y $$(1,1).$$ 7. **Clasificación de los puntos críticos:** Calculamos las segundas derivadas: $$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} f_x = 6x - 12,$$ $$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} f_y = 6y - 12,$$ $$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} f_x = 9.$$ El discriminante de la matriz Hessiana es: $$D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2.$$ Para $$(0,0)$$: $$f_{xx}(0,0) = 6(0) - 12 = -12,$$ $$f_{yy}(0,0) = 6(0) - 12 = -12,$$ $$D = (-12)(-12) - 9^2 = 144 - 81 = 63 > 0,$$ como $$f_{xx} < 0$$, el punto es un máximo local. Para $$(1,1)$$: $$f_{xx}(1,1) = 6(1) - 12 = -6,$$ $$f_{yy}(1,1) = 6(1) - 12 = -6,$$ $$D = (-6)(-6) - 9^2 = 36 - 81 = -45 < 0,$$ por lo que el punto es una silla (punto de silla). **Respuesta final:** - $$\nabla f(2,1) = (-3, 9).$$ - Puntos críticos: $$(0,0)$$ (máximo local) y $$(1,1)$$ (punto de silla).