Integral Esfera 4D7D08

1. **Planteamiento del problema:** Queremos calcular la integral triple $$\iiint_D (x^2 + y^2 + z^2) \, dV$$ donde $D$ es la esfera de radio $R=0$ centrada en el origen. 2. **Observación importante:** El radio $R=0$ indica que la esfera es un punto en el origen, por lo que el volumen de $D$ es cero. 3. **Coordenadas esféricas:** En coordenadas esféricas, las variables se transforman como: $$x = \rho \sin\phi \cos\theta$$ $$y = \rho \sin\phi \sin\theta$$ $$z = \rho \cos\phi$$ con $\rho \geq 0$, $0 \leq \phi \leq \pi$, $0 \leq \theta < 2\pi$. El elemento de volumen es: $$dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$$ 4. **Expresión del integrando en coordenadas esféricas:** $$x^2 + y^2 + z^2 = \rho^2$$ 5. **Integral en coordenadas esféricas:** $$\iiint_D (x^2 + y^2 + z^2) \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^R \rho^2 \cdot \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^R \rho^4 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$$ 6. **Evaluación de la integral:** Como $R=0$, el límite superior de $\rho$ es cero, por lo que la integral es: $$\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^0 \rho^4 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta = 0$$ 7. **Conclusión:** La integral sobre una esfera de radio cero es cero porque el volumen es nulo. **Respuesta final:** $$\boxed{0}$$