1. Planteamos el problema: calcular el límite de la función $$f(x,y) = \frac{3xy}{5x^2 + 2y^2}$$ cuando $(x,y) \to (0,0)$.\n\n2. Para determinar si el límite existe, debemos analizar el comportamiento de la función al acercarnos al origen por diferentes caminos.\n\n3. Probamos el camino $y = mx$, donde $m$ es una constante real. Sustituimos en la función:\n$$f(x,mx) = \frac{3x(mx)}{5x^2 + 2(m x)^2} = \frac{3m x^2}{5x^2 + 2m^2 x^2} = \frac{3m x^2}{x^2(5 + 2m^2)}$$\n\n4. Simplificamos cancelando $x^2$ en numerador y denominador:\n$$= \frac{3m \cancel{x^2}}{\cancel{x^2}(5 + 2m^2)} = \frac{3m}{5 + 2m^2}$$\n\n5. Observamos que el límite depende de $m$, el valor de la pendiente del camino por el que nos acercamos al origen. Por ejemplo:\n- Si $m=0$, el límite es $0$.\n- Si $m=1$, el límite es $\frac{3 \cdot 1}{5 + 2 \cdot 1^2} = \frac{3}{7}$.\n\n6. Como el límite depende del camino, no es único y por lo tanto el límite no existe.\n\n**Respuesta final:** El límite $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{3xy}{5x^2 + 2y^2}$$ no existe porque varía según el camino de aproximación.