1. Planteamos el problema: calcular el límite de la función $$f(x,y) = \frac{3xy}{5x^{2}+2y^{2}}$$ cuando $(x,y) \to (0,0)$.\n\n2. Para que el límite exista y sea finito, el valor debe ser el mismo sin importar la trayectoria que tomemos para acercarnos a $(0,0)$.\n\n3. Probamos diferentes caminos:\n- Camino 1: $y=0$\n$$\lim_{x \to 0} \frac{3x\cdot 0}{5x^{2}+2\cdot 0^{2}} = \lim_{x \to 0} 0 = 0$$\n- Camino 2: $y=x$\n$$\lim_{x \to 0} \frac{3x\cdot x}{5x^{2}+2x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{3x^{2}}{7x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{7} = \frac{3}{7}$$\n\n4. Como los límites por diferentes caminos no coinciden (0 y $\frac{3}{7}$), concluimos que el límite no existe.\n\nRespuesta final: El límite $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{3xy}{5x^{2}+2y^{2}}$$ no existe.