1. Planteamos el problema: calcular si existe el límite de la función $$f(x,y) = \frac{3xy}{5x^{2}+2y^{2}}$$ cuando $(x,y) \to (0,0)$. 2. Para que el límite exista y sea finito, el valor de la función debe acercarse al mismo número sin importar la trayectoria que tomemos hacia $(0,0)$. 3. Probamos diferentes caminos para ver si el límite es el mismo: - Camino 1: $y=0$. $$\lim_{x \to 0} \frac{3x\cdot 0}{5x^{2}+2\cdot 0^{2}} = \lim_{x \to 0} 0 = 0$$ - Camino 2: $y = mx$ (recta con pendiente $m$). Sustituimos: $$\lim_{x \to 0} \frac{3x(mx)}{5x^{2}+2(m x)^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{3m x^{2}}{5x^{2}+2m^{2}x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{3m x^{2}}{x^{2}(5+2m^{2})}$$ Cancelamos $x^{2}$: $$\lim_{x \to 0} \frac{3m \cancel{x^{2}}}{\cancel{x^{2}}(5+2m^{2})} = \frac{3m}{5+2m^{2}}$$ 4. Observamos que el límite depende de $m$, la pendiente de la recta por la que nos acercamos. 5. Por ejemplo, para $m=0$ el límite es $0$, pero para $m=1$ el límite es $\frac{3}{7}$. 6. Como el límite depende de la trayectoria, el límite no existe en $(0,0)$. **Respuesta final:** El límite $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{3xy}{5x^{2}+2y^{2}}$$ no existe porque depende de la dirección de aproximación.