1. **Planteamiento del problema:** Determinar los máximos, mínimos y puntos de ensilladura de la función de dos variables $$f(x,y) = x^3 y^2 (6 - x - y)$$ con dominio $$x > 0, y > 0$$. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** Para encontrar los puntos críticos de una función de dos variables, calculamos las derivadas parciales primeras $$f_x$$ y $$f_y$$, las igualamos a cero y resolvemos el sistema: $$ f_x = 0, \quad f_y = 0 $$ Luego, usamos la matriz Hessiana para clasificar los puntos críticos: $$ H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix} $$ El criterio es: - Si $$D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 > 0$$ y $$f_{xx} > 0$$, es mínimo local. - Si $$D > 0$$ y $$f_{xx} < 0$$, es máximo local. - Si $$D < 0$$, es punto de ensilladura. 3. **Cálculo de derivadas parciales:** Primero expandimos $$f(x,y)$$ para facilitar derivación: $$ f(x,y) = x^3 y^2 (6 - x - y) = 6x^3 y^2 - x^4 y^2 - x^3 y^3 $$ Derivada parcial respecto a $$x$$: $$ f_x = \frac{\partial}{\partial x} (6x^3 y^2 - x^4 y^2 - x^3 y^3) = 18x^2 y^2 - 4x^3 y^2 - 3x^2 y^3 $$ Derivada parcial respecto a $$y$$: $$ f_y = \frac{\partial}{\partial y} (6x^3 y^2 - x^4 y^2 - x^3 y^3) = 12x^3 y - 2x^4 y - 3x^3 y^2 $$ 4. **Igualar derivadas a cero para puntos críticos:** $$ 18x^2 y^2 - 4x^3 y^2 - 3x^2 y^3 = 0 $$ $$ 12x^3 y - 2x^4 y - 3x^3 y^2 = 0 $$ Factorizamos términos comunes: Para $$f_x=0$$: $$ x^2 y^2 (18 - 4x - 3y) = 0 $$ Para $$f_y=0$$: $$ x^3 y (12 - 2x - 3y) = 0 $$ Como $$x>0, y>0$$, descartamos $$x=0$$ o $$y=0$$, entonces: $$ 18 - 4x - 3y = 0 \quad (1) $$ $$ 12 - 2x - 3y = 0 \quad (2) $$ 5. **Resolver sistema de ecuaciones lineales:** Restamos (2) de (1): $$ (18 - 4x - 3y) - (12 - 2x - 3y) = 0 \Rightarrow 6 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 $$ Sustituimos $$x=3$$ en (2): $$ 12 - 2(3) - 3y = 0 \Rightarrow 12 - 6 - 3y = 0 \Rightarrow 6 = 3y \Rightarrow y = 2 $$ 6. **Punto crítico encontrado:** $$ (x,y) = (3,2) $$ 7. **Calcular segundas derivadas para matriz Hessiana:** $$ f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} f_x = \frac{\partial}{\partial x} (18x^2 y^2 - 4x^3 y^2 - 3x^2 y^3) = 36x y^2 - 12x^2 y^2 - 6x y^3 $$ $$ f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} f_y = \frac{\partial}{\partial y} (12x^3 y - 2x^4 y - 3x^3 y^2) = 12x^3 - 2x^4 - 6x^3 y $$ $$ f_{xy} = f_{yx} = \frac{\partial}{\partial y} f_x = \frac{\partial}{\partial y} (18x^2 y^2 - 4x^3 y^2 - 3x^2 y^3) = 36x^2 y - 8x^3 y - 9x^2 y^2 $$ 8. **Evaluar segundas derivadas en el punto crítico (3,2):** $$ f_{xx}(3,2) = 36(3)(2)^2 - 12(3)^2 (2)^2 - 6(3)(2)^3 = 36 \cdot 3 \cdot 4 - 12 \cdot 9 \cdot 4 - 6 \cdot 3 \cdot 8 = 432 - 432 - 144 = -144 $$ $$ f_{yy}(3,2) = 12(3)^3 - 2(3)^4 - 6(3)^3 (2) = 12 \cdot 27 - 2 \cdot 81 - 6 \cdot 27 \cdot 2 = 324 - 162 - 324 = -162 $$ $$ f_{xy}(3,2) = 36(3)^2 (2) - 8(3)^3 (2) - 9(3)^2 (2)^2 = 36 \cdot 9 \cdot 2 - 8 \cdot 27 \cdot 2 - 9 \cdot 9 \cdot 4 = 648 - 432 - 324 = -108 $$ 9. **Calcular determinante Hessiana:** $$ D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-144)(-162) - (-108)^2 = 23328 - 11664 = 11664 > 0 $$ 10. **Clasificación del punto crítico:** Como $$D > 0$$ y $$f_{xx} = -144 < 0$$, el punto $$ (3,2) $$ es un **máximo local**. **Respuesta final:** El único punto crítico en el dominio positivo es $$ (3,2) $$ y corresponde a un máximo local de la función.