Question: Valor promedio de una función
Encuentra el valor promedio de la función $f(x,y,z)=xyz$ sobre el cubo $D=[0,1]\times[0,1]\times[0,1]$.
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos encontrar el valor promedio de la función $f(x,y,z) = xyz$ sobre el cubo $D = [0,1] \times [0,1] \times [0,1]$.
2. **Fórmula para el valor promedio:**
El valor promedio de una función $f$ sobre una región $D$ con volumen $V$ es:
$$
\text{Valor promedio} = \frac{1}{V} \iiint_D f(x,y,z) \, dV
$$
3. **Volumen del cubo $D$:**
El cubo tiene lados de longitud 1, entonces:
$$
V = 1 \times 1 \times 1 = 1
$$
4. **Integral triple para el valor promedio:**
Calculamos:
$$
\iiint_D xyz \, dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz \, dx \, dy \, dz
$$
5. **Integración paso a paso:**
Primero integramos respecto a $x$:
$$
\int_0^1 xyz \, dx = yz \int_0^1 x \, dx = yz \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{yz}{2}
$$
Luego respecto a $y$:
$$
\int_0^1 \frac{yz}{2} \, dy = \frac{z}{2} \int_0^1 y \, dy = \frac{z}{2} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = \frac{z}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{z}{4}
$$
Finalmente respecto a $z$:
$$
\int_0^1 \frac{z}{4} \, dz = \frac{1}{4} \int_0^1 z \, dz = \frac{1}{4} \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}
$$
6. **Cálculo del valor promedio:**
Como el volumen $V=1$, el valor promedio es:
$$
\frac{1}{1} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{8}
$$
**Respuesta final:** El valor promedio de la función $f(x,y,z) = xyz$ sobre el cubo $D$ es $\boxed{\frac{1}{8}}$.