Question: Un recipiente a presión tiene la forma de un sólido limitado por el paraboloide $$z=4-x^2 -y^2$$ y el plano $$z=0$$. Este recipiente será utilizado para almacenar gas a alta presión.
a) Calcula el volumen del recipiente utilizando una integral triple en coordenadas cilíndricas
b) Encuentra el centro de masa del recipiente si está fabricado con un material de densidad constante $$\rho=1$$.
c) Si el recipiente se fabrica con un material cuya densidad varía con la altura según $$\rho(x,y,z)=z$$, ¿cuál sería el nuevo centro de masa? Justifica tu respuesta.
d) Compara los resultados de los incisos b) y c) y explica la diferencia física. ¿En qué caso el centro de masa es más alto? ¿Por qué?
1. **Planteamiento del problema:**
Tenemos un sólido limitado por el paraboloide $$z=4-x^2 -y^2$$ y el plano $$z=0$$. Queremos calcular su volumen, centro de masa con densidad constante $$\rho=1$$, y centro de masa con densidad variable $$\rho=z$$.
2. **Volumen en coordenadas cilíndricas:**
Recordemos que en coordenadas cilíndricas: $$x=r\cos\theta$$, $$y=r\sin\theta$$, $$z=z$$ y el elemento de volumen es $$dV = r \, dr \, d\theta \, dz$$.
El paraboloide se expresa como $$z=4-r^2$$ y el plano es $$z=0$$.
El volumen es:
$$V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{4-r^2} r \, dz \, dr \, d\theta$$
3. **Cálculo del volumen:**
Integrando primero en $$z$$:
$$\int_0^{4-r^2} r \, dz = r[z]_0^{4-r^2} = r(4-r^2)$$
Luego:
$$V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 r(4-r^2) \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \left( \int_0^2 (4r - r^3) \, dr \right) d\theta$$
Calculemos la integral en $$r$$:
$$\int_0^2 (4r - r^3) \, dr = \left[2r^2 - \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = 2(4) - \frac{16}{4} = 8 - 4 = 4$$
Finalmente:
$$V = \int_0^{2\pi} 4 \, d\theta = 4 \times 2\pi = 8\pi$$
4. **Centro de masa con densidad constante $$\rho=1$$:**
El centro de masa $$\vec{R} = (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$$ se calcula como:
$$\bar{x} = \frac{1}{M} \iiint x \rho \, dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{M} \iiint y \rho \, dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{M} \iiint z \rho \, dV$$
Donde $$M = \iiint \rho \, dV = V$$ porque $$\rho=1$$.
Por simetría del paraboloide y densidad constante, $$\bar{x} = 0$$ y $$\bar{y} = 0$$.
Calculamos $$\bar{z}$$:
$$\bar{z} = \frac{1}{V} \iiint z \, dV = \frac{1}{8\pi} \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{4-r^2} z r \, dz \, dr \, d\theta$$
Integrando en $$z$$:
$$\int_0^{4-r^2} z r \, dz = r \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^{4-r^2} = r \frac{(4-r^2)^2}{2}$$
Entonces:
$$\bar{z} = \frac{1}{8\pi} \int_0^{2\pi} \int_0^2 r \frac{(4-r^2)^2}{2} \, dr \, d\theta = \frac{1}{8\pi} \times 2\pi \times \int_0^2 \frac{r (4-r^2)^2}{2} \, dr = \frac{1}{4} \int_0^2 r (4-r^2)^2 \, dr$$
Expandimos $$ (4-r^2)^2 = 16 - 8r^2 + r^4 $$:
$$\bar{z} = \frac{1}{4} \int_0^2 r (16 - 8r^2 + r^4) \, dr = \frac{1}{4} \int_0^2 (16r - 8r^3 + r^5) \, dr$$
Calculamos la integral:
$$\int_0^2 (16r - 8r^3 + r^5) \, dr = \left[8r^2 - 2r^4 + \frac{r^6}{6} \right]_0^2 = 8(4) - 2(16) + \frac{64}{6} = 32 - 32 + \frac{64}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$$
Por lo tanto:
$$\bar{z} = \frac{1}{4} \times \frac{32}{3} = \frac{8}{3}$$
5. **Centro de masa con densidad variable $$\rho = z$$:**
Ahora la masa total es:
$$M = \iiint z \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{4-r^2} z r \, dz \, dr \, d\theta$$
Ya calculamos esta integral en el paso anterior para $$\bar{z}$$ pero sin dividir por $$V$$:
$$M = 2\pi \int_0^2 r \frac{(4-r^2)^2}{2} \, dr = \pi \int_0^2 r (4-r^2)^2 \, dr$$
Ya calculamos $$\int_0^2 r (4-r^2)^2 dr = \frac{32}{3}$$, entonces:
$$M = \pi \times \frac{32}{3} = \frac{32\pi}{3}$$
El centro de masa $$\bar{z}$$ con densidad variable es:
$$\bar{z} = \frac{1}{M} \iiint z \rho \, dV = \frac{1}{M} \iiint z^2 \, dV = \frac{1}{M} \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{4-r^2} z^2 r \, dz \, dr \, d\theta$$
Integrando en $$z$$:
$$\int_0^{4-r^2} z^2 r \, dz = r \left[ \frac{z^3}{3} \right]_0^{4-r^2} = r \frac{(4-r^2)^3}{3}$$
Entonces:
$$\bar{z} = \frac{1}{M} \times 2\pi \int_0^2 r \frac{(4-r^2)^3}{3} \, dr = \frac{2\pi}{3M} \int_0^2 r (4-r^2)^3 \, dr$$
Expandimos $$ (4-r^2)^3 = 64 - 48r^2 + 12r^4 - r^6 $$:
$$\int_0^2 r (64 - 48r^2 + 12r^4 - r^6) \, dr = \int_0^2 (64r - 48r^3 + 12r^5 - r^7) \, dr$$
Calculamos la integral:
$$\left[32r^2 - 12r^4 + 2r^6 - \frac{r^8}{8} \right]_0^2 = 32(4) - 12(16) + 2(64) - \frac{256}{8} = 128 - 192 + 128 - 32 = 32$$
Por lo tanto:
$$\bar{z} = \frac{2\pi}{3M} \times 32 = \frac{64\pi}{3M}$$
Recordando que $$M = \frac{32\pi}{3}$$:
$$\bar{z} = \frac{64\pi}{3} \times \frac{3}{32\pi} = 2$$
6. **Comparación y explicación física:**
- Con densidad constante, $$\bar{z} = \frac{8}{3} \approx 2.67$$.
- Con densidad variable $$\rho = z$$, $$\bar{z} = 2$$.
El centro de masa es más bajo cuando la densidad aumenta con la altura porque la masa se concentra más en las partes altas, pero el volumen decrece rápidamente con $$z$$, haciendo que el centro de masa baje en promedio.
**Respuesta final:**
- Volumen: $$8\pi$$
- Centro de masa con $$\rho=1$$: $$(0,0,\frac{8}{3})$$
- Centro de masa con $$\rho=z$$: $$(0,0,2)$$
- El centro de masa es más alto con densidad constante que con densidad variable creciente con $$z$$.