Volumen Cilindro 11C2Be

1. **Planteamiento del problema:** Queremos calcular el volumen de una pieza cilíndrica maciza limitada por el cilindro $x^2 + y^2 = 4$ y los planos $z=0$ y $z=3$. 2. **Integral triple en coordenadas rectangulares:** El volumen $V$ se puede expresar como la integral triple sobre la región $D$: $$V = \iiint_D dV = \int_{z=0}^3 \int_{y=-\sqrt{4 - x^2}}^{\sqrt{4 - x^2}} \int_{x=-2}^2 dx\, dy\, dz$$ Pero para ser más precisos, el dominio en $x$ y $y$ está limitado por $x^2 + y^2 \leq 4$. Entonces: $$V = \int_{z=0}^3 \int_{x=-2}^2 \int_{y=-\sqrt{4 - x^2}}^{\sqrt{4 - x^2}} dy\, dx\, dz$$ 3. **Cambio a coordenadas cilíndricas:** Recordemos que en coordenadas cilíndricas: $$x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad z = z$$ El jacobiano del cambio es $r$, por lo que el volumen se expresa como: $$V = \int_{z=0}^3 \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^2 r \, dr \, d\theta \, dz$$ 4. **Cálculo del volumen:** Primero integramos respecto a $r$: $$\int_0^2 r \, dr = \left. \frac{r^2}{2} \right|_0^2 = \frac{4}{2} = 2$$ Luego respecto a $\theta$: $$\int_0^{2\pi} 2 \, d\theta = 2 \times 2\pi = 4\pi$$ Finalmente respecto a $z$: $$\int_0^3 4\pi \, dz = 4\pi \times 3 = 12\pi$$ Por lo tanto, el volumen es: $$V = 12\pi$$ 5. **Cálculo de la masa:** Densidad $\rho = 2.7$ g/cm$^3$. Masa $m = \rho \times V = 2.7 \times 12\pi = 32.4\pi$ g. 6. **Verificación con fórmula geométrica:** El volumen de un cilindro es: $$V = \pi r^2 h$$ Con $r=2$ y $h=3$: $$V = \pi \times 2^2 \times 3 = 12\pi$$ Coincide con el resultado obtenido por integración. **Respuesta final:** - Integral triple en coordenadas rectangulares: $$V = \int_0^3 \int_{-2}^2 \int_{-\sqrt{4 - x^2}}^{\sqrt{4 - x^2}} dy \, dx \, dz$$ - Volumen calculado en coordenadas cilíndricas: $$V = 12\pi$$ - Masa total: $$m = 32.4\pi \text{ g}$$ - Verificación con fórmula geométrica confirma el volumen $12\pi$.