1. El problema es hallar el volumen de la región definida por la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ usando coordenadas cilíndricas. 2. En coordenadas cilíndricas, recordamos que $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, y $z = z$, y que $x^2 + y^2 = r^2$. 3. La ecuación de la esfera se convierte en $$r^2 + z^2 = 4.$$ Esto implica que para cada $r$, $z$ varía entre $$-\sqrt{4 - r^2} \leq z \leq \sqrt{4 - r^2}.$$ 4. Los límites para $r$ son de $0$ a $2$ porque $r^2 \leq 4$. 5. Los límites para $\theta$ son de $0$ a $2\pi$ para cubrir toda la circunferencia. 6. El volumen en coordenadas cilíndricas se calcula con la integral triple $$V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_{-\sqrt{4 - r^2}}^{\sqrt{4 - r^2}} r \, dz \, dr \, d\theta.$$ 7. Primero integramos respecto a $z$: $$\int_{-\sqrt{4 - r^2}}^{\sqrt{4 - r^2}} r \, dz = r \left[ z \right]_{-\sqrt{4 - r^2}}^{\sqrt{4 - r^2}} = r \left( \sqrt{4 - r^2} - (-\sqrt{4 - r^2}) \right) = 2r \sqrt{4 - r^2}.$$ 8. Ahora la integral se reduce a $$V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 2r \sqrt{4 - r^2} \, dr \, d\theta.$$ 9. Integramos respecto a $r$: Sea $u = 4 - r^2$, entonces $du = -2r dr$, o $-du = 2r dr$. 10. La integral en $r$ se convierte en $$\int_0^2 2r \sqrt{4 - r^2} \, dr = \int_{u=4}^{u=0} -\sqrt{u} \, du = \int_0^4 \sqrt{u} \, du = \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_0^4 = \frac{2}{3} (4)^{3/2} = \frac{2}{3} \times 8 = \frac{16}{3}.$$ 11. Finalmente, integramos respecto a $\theta$: $$V = \int_0^{2\pi} \frac{16}{3} \, d\theta = \frac{16}{3} \times 2\pi = \frac{32\pi}{3}.$$ 12. Por lo tanto, el volumen de la esfera usando coordenadas cilíndricas es $$\boxed{\frac{32\pi}{3}}.$$