1. **Planteamiento del problema:** Queremos hallar el volumen del sólido debajo del paraboloide $$f(x,y) = 16 - x^2 - y^2$$ y sobre la región elíptica $$R: \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} \leq 1$$. 2. **Transformación y cambio de variable:** Dado que $$R$$ es una elipse con semiejes $$a=4$$ y $$b=3$$, usamos la transformación $$x = au = 4u$$, $$y = bv = 3v$$ para convertir la elipse en el círculo unidad $$u^2 + v^2 \leq 1$$. 3. **Jacobiano del cambio de variable:** El Jacobiano es $$J = \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| = \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 12$$. 4. **Expresión del volumen:** El volumen es la integral doble $$V = \iint_R (16 - x^2 - y^2) \, dx \, dy = \iint_D (16 - (4u)^2 - (3v)^2) \cdot |J| \, du \, dv$$ con $$D: u^2 + v^2 \leq 1$$. 5. **Simplificación dentro de la integral:** $$16 - 16u^2 - 9v^2$$ 6. **Uso de coordenadas polares:** Sea $$u = r\cos\theta$$, $$v = r\sin\theta$$, con $$r \in [0,1]$$ y $$\theta \in [0, 2\pi]$$. El Jacobiano de polares es $$r$$. 7. **Integral en polares:** $$V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (16 - 16r^2\cos^2\theta - 9r^2\sin^2\theta) \cdot 12 \cdot r \, dr \, d\theta$$ 8. **Separar la integral:** $$V = 12 \int_0^{2\pi} \int_0^1 (16r - 16r^3\cos^2\theta - 9r^3\sin^2\theta) \, dr \, d\theta$$ 9. **Integrar respecto a $$r$$:** $$\int_0^1 16r \, dr = 8$$ $$\int_0^1 16r^3 \, dr = 4$$ $$\int_0^1 9r^3 \, dr = \frac{9}{4} = 2.25$$ 10. **Sustituir y simplificar:** $$V = 12 \int_0^{2\pi} \left(8 - 4\cos^2\theta - 2.25\sin^2\theta\right) d\theta$$ 11. **Usar identidades trigonométricas:** $$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}, \quad \sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$$ 12. **Reescribir la integral:** $$V = 12 \int_0^{2\pi} \left(8 - 4 \cdot \frac{1 + \cos 2\theta}{2} - 2.25 \cdot \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\right) d\theta$$ 13. **Simplificar dentro del integrando:** $$8 - 2(1 + \cos 2\theta) - 1.125(1 - \cos 2\theta) = 8 - 2 - 2\cos 2\theta - 1.125 + 1.125 \cos 2\theta = 4.875 - 0.875 \cos 2\theta$$ 14. **Integral final:** $$V = 12 \int_0^{2\pi} (4.875 - 0.875 \cos 2\theta) d\theta = 12 \left[4.875 \cdot 2\pi - 0.875 \int_0^{2\pi} \cos 2\theta d\theta \right]$$ 15. **Evaluar integral de coseno:** $$\int_0^{2\pi} \cos 2\theta d\theta = 0$$ 16. **Resultado final:** $$V = 12 \cdot 4.875 \cdot 2\pi = 117 \pi$$ **Respuesta:** El volumen del sólido es $$\boxed{117\pi}$$. --- **Centroides:** Para el paraboloide y región dada, el sólido es simétrico respecto a los ejes $$x$$ y $$y$$, por lo que los centroides en $$x$$ y $$y$$ son cero: $$\bar{x} = 0, \quad \bar{y} = 0$$. El centroide en $$z$$ es la altura promedio: $$\bar{z} = \frac{1}{V} \iiint z \, dV = \frac{1}{V} \iint_R \frac{f(x,y)}{2} (16 - x^2 - y^2)/2 \, dx \, dy$$ Pero para paraboloides, $$\bar{z} = \frac{1}{2} \times \text{altura máxima} = \frac{16}{2} = 8$$. Por lo tanto, el centroide es: $$\boxed{(0,0,8)}$$.