1. **Planteamiento del problema:** Dada la función de potencial escalar $$V(x,y,z) = x^2 y + 2 y z^2 - 4 x$$ y el punto $$P(2,-1,1)$$, se pide: a) Calcular el valor exacto de la máxima derivada direccional en $$P$$ y el vector unitario $$\mathbf{u}$$ donde ocurre. b) Calcular la derivada direccional en $$P$$ en la dirección del vector $$\mathbf{v} = \langle 3,0,-4 \rangle$$ y determinar si es aumento o disminución. c) Bosquejo gráfico de la función. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - El gradiente de $$V$$ es $$\nabla V = \left( \frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z} \right)$$. - La derivada direccional de $$V$$ en $$P$$ en dirección $$\mathbf{u}$$ (vector unitario) es $$D_{\mathbf{u}} V = \nabla V(P) \cdot \mathbf{u}$$. - La máxima derivada direccional es $$\| \nabla V(P) \|$$ y ocurre en la dirección $$\mathbf{u} = \frac{\nabla V(P)}{\| \nabla V(P) \|}$$. 3. **Cálculo del gradiente:** $$\frac{\partial V}{\partial x} = 2 x y - 4$$ $$\frac{\partial V}{\partial y} = x^2 + 2 z^2$$ $$\frac{\partial V}{\partial z} = 4 y z$$ Evaluamos en $$P(2,-1,1)$$: $$\frac{\partial V}{\partial x}(2,-1,1) = 2 \cdot 2 \cdot (-1) - 4 = -4 - 4 = -8$$ $$\frac{\partial V}{\partial y}(2,-1,1) = 2^2 + 2 \cdot 1^2 = 4 + 2 = 6$$ $$\frac{\partial V}{\partial z}(2,-1,1) = 4 \cdot (-1) \cdot 1 = -4$$ Entonces: $$\nabla V(2,-1,1) = \langle -8, 6, -4 \rangle$$ 4. **a) Máxima derivada direccional y vector unitario:** Calculamos la norma: $$\| \nabla V(2,-1,1) \| = \sqrt{(-8)^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 36 + 16} = \sqrt{116} = 2 \sqrt{29}$$ El vector unitario es: $$\mathbf{u} = \frac{1}{2 \sqrt{29}} \langle -8, 6, -4 \rangle = \left\langle \frac{-8}{2 \sqrt{29}}, \frac{6}{2 \sqrt{29}}, \frac{-4}{2 \sqrt{29}} \right\rangle = \left\langle \frac{-4}{\sqrt{29}}, \frac{3}{\sqrt{29}}, \frac{-2}{\sqrt{29}} \right\rangle$$ Por lo tanto, la máxima derivada direccional es $$2 \sqrt{29}$$ y ocurre en la dirección $$\mathbf{u}$$ dada. 5. **b) Derivada direccional en dirección $$\mathbf{v} = \langle 3,0,-4 \rangle$$:** Primero normalizamos $$\mathbf{v}$$: $$\| \mathbf{v} \| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ Vector unitario: $$\mathbf{u}_v = \frac{1}{5} \langle 3,0,-4 \rangle = \langle \frac{3}{5}, 0, \frac{-4}{5} \rangle$$ Derivada direccional: $$D_{\mathbf{u}_v} V = \nabla V(2,-1,1) \cdot \mathbf{u}_v = (-8) \cdot \frac{3}{5} + 6 \cdot 0 + (-4) \cdot \frac{-4}{5} = \frac{-24}{5} + 0 + \frac{16}{5} = \frac{-8}{5} = -1.6$$ Como el valor es negativo, la función disminuye en esa dirección. 6. **c) Bosquejo gráfico:** Se recomienda usar Geogebra o software similar para visualizar la función $$V(x,y,z)$$ en 3D, ya que es un campo escalar en $$\mathbb{R}^3$$. El gráfico puede mostrar niveles de potencial o superficies de nivel para entender el comportamiento. **Respuesta final:** - Máxima derivada direccional en $$P$$: $$2 \sqrt{29}$$ - Vector unitario donde ocurre: $$\left\langle \frac{-4}{\sqrt{29}}, \frac{3}{\sqrt{29}}, \frac{-2}{\sqrt{29}} \right\rangle$$ - Derivada direccional en dirección $$\mathbf{v}$$: $$-\frac{8}{5}$$ (disminución del potencial)