Question: La temperatura en una placa metálica varía según la función $T(x, y)=x^2+y^2$. Se quiere conocer la temperatura promedio a lo largo de una curva $C$ que representa un corte en la placa, descrita por:
$r(t)=(2 \cos t, 2 \sin t)$, $0\leq t \leq \pi$
a) Calcula la integral de línea $\int_C T(x, y) \, ds$
b) ¿Qué representa físicamente el valor de esta integral? Si la curva representa un sensor que mide temperatura, ¿qué representa el resultado?
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos calcular la integral de línea de la función de temperatura $T(x,y) = x^2 + y^2$ a lo largo de la curva $C$ dada por $r(t) = (2 \cos t, 2 \sin t)$ para $t$ en $[0, \pi]$.
2. **Fórmula para la integral de línea:**
La integral de línea de una función escalar $f(x,y)$ a lo largo de una curva parametrizada $r(t) = (x(t), y(t))$, $a \leq t \leq b$, es:
$$\int_C f(x,y) \, ds = \int_a^b f(x(t), y(t)) \|r'(t)\| \, dt$$
Donde $\|r'(t)\| = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}$.
3. **Calcular $T(x(t), y(t))$:**
Dado $r(t) = (2 \cos t, 2 \sin t)$,
$$T(x(t), y(t)) = (2 \cos t)^2 + (2 \sin t)^2 = 4 \cos^2 t + 4 \sin^2 t = 4(\cos^2 t + \sin^2 t) = 4$$
4. **Calcular $r'(t)$ y su norma:**
$$r'(t) = \left(-2 \sin t, 2 \cos t\right)$$
$$\|r'(t)\| = \sqrt{(-2 \sin t)^2 + (2 \cos t)^2} = \sqrt{4 \sin^2 t + 4 \cos^2 t} = \sqrt{4(\sin^2 t + \cos^2 t)} = \sqrt{4} = 2$$
5. **Sustituir en la integral:**
$$\int_C T(x,y) \, ds = \int_0^\pi 4 \times 2 \, dt = \int_0^\pi 8 \, dt$$
6. **Calcular la integral:**
$$\int_0^\pi 8 \, dt = 8t \Big|_0^\pi = 8\pi$$
7. **Interpretación física:**
La integral de línea $\int_C T(x,y) \, ds$ representa la suma total de la temperatura a lo largo de la curva $C$ ponderada por la longitud diferencial de la curva.
Si la curva $C$ representa un sensor que mide la temperatura a lo largo de ese camino, el resultado $8\pi$ es la suma acumulada de las temperaturas medidas a lo largo del sensor.
Para obtener la temperatura promedio a lo largo de la curva, se dividiría esta integral por la longitud total de la curva.
8. **Longitud de la curva $C$:**
La longitud $L$ es:
$$L = \int_0^\pi \|r'(t)\| dt = \int_0^\pi 2 \, dt = 2\pi$$
9. **Temperatura promedio a lo largo de $C$:**
$$\text{Temperatura promedio} = \frac{\int_C T(x,y) \, ds}{L} = \frac{8\pi}{2\pi} = 4$$
**Respuesta final:**
- a) La integral de línea es $\boxed{8\pi}$.
- b) Este valor representa la suma total de la temperatura medida a lo largo del sensor en la curva $C$. La temperatura promedio a lo largo de la curva es $4$, que coincide con el valor constante de $T$ en la curva.