Question: Un ingeniero civil necesita calcular la longitud de un cable que seguirá una trayectoria helicoidal para sujetar un puente colgante. La trayectoria del cable está descrita por la curva paramétrica $$\mathbf{r}(t) = (3 \cos t, 3 \sin t, 4t), \quad 0 \leq t \leq 2\pi$$.
a) Calcula la longitud total del cable.
b) Si el cable tiene una densidad lineal uniforme de $$\rho = 2$$ Kg/m, ¿cuál es la masa total del cable?
c) ¿Cómo se relaciona la longitud de arco con la integral de línea de un campo escalar?
1. **Planteamiento del problema:**
Se tiene la curva paramétrica $$\mathbf{r}(t) = (3 \cos t, 3 \sin t, 4t)$$ para $$t$$ en $$[0, 2\pi]$$ y se desea calcular:
- a) La longitud total del cable.
- b) La masa total del cable con densidad lineal $$\rho = 2$$ Kg/m.
- c) La relación entre la longitud de arco y la integral de línea de un campo escalar.
2. **Fórmula para la longitud de arco de una curva paramétrica:**
La longitud $$L$$ de una curva $$\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$$ para $$t \in [a,b]$$ es:
$$
L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} \, dt
$$
3. **Derivadas de las componentes:**
$$
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3 \cos t) = -3 \sin t
$$
$$
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(3 \sin t) = 3 \cos t
$$
$$
\frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt}(4t) = 4
$$
4. **Sustituyendo en la fórmula de longitud:**
$$
L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(-3 \sin t)^2 + (3 \cos t)^2 + 4^2} \, dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{9 \sin^2 t + 9 \cos^2 t + 16} \, dt
$$
5. **Simplificando la raíz:**
Recordando que $$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$:
$$
L = \int_0^{2\pi} \sqrt{9(\sin^2 t + \cos^2 t) + 16} \, dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{9 + 16} \, dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{25} \, dt
$$
$$
L = \int_0^{2\pi} 5 \, dt
$$
6. **Integrando:**
$$
L = 5 \times (2\pi - 0) = 10\pi
$$
7. **Respuesta a a):**
La longitud total del cable es $$L = 10\pi$$ metros.
8. **Para b) Masa total del cable:**
La masa $$m$$ de un cable con densidad lineal $$\rho$$ y longitud $$L$$ es:
$$
m = \rho \times L
$$
Sustituyendo:
$$
m = 2 \times 10\pi = 20\pi
$$
La masa total del cable es $$20\pi$$ kilogramos.
9. **Para c) Relación entre longitud de arco e integral de línea de un campo escalar:**
La longitud de arco de una curva es un caso particular de la integral de línea de un campo escalar donde el campo escalar es constante e igual a 1.
En general, la integral de línea de un campo escalar $$f$$ a lo largo de una curva $$C$$ parametrizada por $$\mathbf{r}(t)$$ es:
$$
\int_C f \, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \left| \mathbf{r}'(t) \right| dt
$$
Si $$f = 1$$, entonces:
$$
\int_C 1 \, ds = \int_a^b \left| \mathbf{r}'(t) \right| dt = L
$$
Esto muestra que la longitud de arco es la integral de línea de un campo escalar constante 1.
**Respuesta final:**
a) $$L = 10\pi$$ metros.
b) $$m = 20\pi$$ kilogramos.
c) La longitud de arco es la integral de línea de un campo escalar constante igual a 1.