Masa Centro Masa 60Eeae

1. **Planteamiento del problema:** Tenemos una columna cilíndrica sólida limitada por el cilindro $x^2+y^2=1$ y los planos $z=0$ y $z=2$. La densidad varía según la distancia al eje central, dada por $\rho(x,y,z)=x^2+y^2$. Queremos: a) Determinar los límites de integración en coordenadas cilíndricas. b) Calcular la masa total. c) Calcular los momentos $M_{xy}$, $M_{xz}$, $M_{yz}$. d) Determinar las coordenadas del centro de masa $(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$. e) Localizar el centro de masa y comparar con el centro geométrico. --- 2. **Coordenadas cilíndricas:** Recordemos que en coordenadas cilíndricas: $$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad z=z$$ El volumen diferencial es: $$dV = r \, dr \, d\theta \, dz$$ La densidad es: $$\rho(r,\theta,z) = r^2$$ porque $x^2 + y^2 = r^2$. --- 3. **a) Límites de integración:** - $r$ va desde $0$ hasta $1$ (por el cilindro $x^2 + y^2 = 1$). - $\theta$ va desde $0$ hasta $2\pi$ (cubre todo el círculo). - $z$ va desde $0$ hasta $2$ (entre los planos dados). Entonces: $$0 \leq r \leq 1, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad 0 \leq z \leq 2$$ --- 4. **b) Masa total $M$:** La masa es la integral de la densidad sobre el volumen: $$M = \iiint_V \rho \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 r^2 \cdot r \, dz \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 r^3 \, dz \, dr \, d\theta$$ Integrando primero en $z$: $$\int_0^2 r^3 \, dz = r^3 \cdot (2 - 0) = 2r^3$$ Entonces: $$M = \int_0^{2\pi} \int_0^1 2r^3 \, dr \, d\theta = 2 \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 \, dr \, d\theta$$ Integrando en $r$: $$\int_0^1 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4}$$ Por lo tanto: $$M = 2 \int_0^{2\pi} \frac{1}{4} \, d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} d\theta = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi$$ --- 5. **c) Momentos $M_{xy}$, $M_{xz}$, $M_{yz}$:** Los momentos se definen como: $$M_{xy} = \iiint_V z \rho \, dV$$ $$M_{xz} = \iiint_V y \rho \, dV$$ $$M_{yz} = \iiint_V x \rho \, dV$$ En coordenadas cilíndricas: - $x = r \cos\theta$ - $y = r \sin\theta$ - $z = z$ - $\rho = r^2$ - $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$ Entonces: $$M_{xy} = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 z \cdot r^2 \cdot r \, dz \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 z r^3 \, dz \, dr \, d\theta$$ Integrando en $z$: $$\int_0^2 z r^3 \, dz = r^3 \int_0^2 z \, dz = r^3 \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^2 = r^3 \cdot \frac{4}{2} = 2r^3$$ Luego: $$M_{xy} = \int_0^{2\pi} \int_0^1 2r^3 \, dr \, d\theta = 2 \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 \, dr \, d\theta$$ Ya calculamos $\int_0^1 r^3 dr = \frac{1}{4}$, entonces: $$M_{xy} = 2 \cdot \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} d\theta = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi$$ --- Para $M_{xz}$: $$M_{xz} = \iiint y \rho \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 (r \sin\theta) (r^2) r \, dz \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 r^4 \sin\theta \, dz \, dr \, d\theta$$ Integrando en $z$: $$\int_0^2 r^4 \sin\theta \, dz = 2 r^4 \sin\theta$$ Entonces: $$M_{xz} = \int_0^{2\pi} \int_0^1 2 r^4 \sin\theta \, dr \, d\theta = 2 \int_0^{2\pi} \sin\theta \int_0^1 r^4 \, dr \, d\theta$$ Calculamos $\int_0^1 r^4 dr = \left[ \frac{r^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{5}$: $$M_{xz} = 2 \cdot \frac{1}{5} \int_0^{2\pi} \sin\theta \, d\theta = \frac{2}{5} \cdot 0 = 0$$ Porque $\int_0^{2\pi} \sin\theta d\theta = 0$. --- Para $M_{yz}$: $$M_{yz} = \iiint x \rho \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 (r \cos\theta) (r^2) r \, dz \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 r^4 \cos\theta \, dz \, dr \, d\theta$$ Integrando en $z$: $$\int_0^2 r^4 \cos\theta \, dz = 2 r^4 \cos\theta$$ Entonces: $$M_{yz} = 2 \int_0^{2\pi} \cos\theta \int_0^1 r^4 \, dr \, d\theta = 2 \cdot \frac{1}{5} \int_0^{2\pi} \cos\theta \, d\theta = \frac{2}{5} \cdot 0 = 0$$ Porque $\int_0^{2\pi} \cos\theta d\theta = 0$. --- 6. **d) Coordenadas del centro de masa $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$:** Se definen como: $$\bar{x} = \frac{M_{yz}}{M}, \quad \bar{y} = \frac{M_{xz}}{M}, \quad \bar{z} = \frac{M_{xy}}{M}$$ Sustituyendo: $$\bar{x} = \frac{0}{\pi} = 0$$ $$\bar{y} = \frac{0}{\pi} = 0$$ $$\bar{z} = \frac{\pi}{\pi} = 1$$ --- 7. **e) Localización y comparación con el centro geométrico:** El centro de masa está en el punto: $$(0,0,1)$$ El centro geométrico del cilindro sólido uniforme sería también en el centro del cilindro, que es: $$(0,0,1)$$ Sin embargo, la densidad varía y es mayor en la periferia, pero debido a la simetría circular y la simetría en $z$, el centro de masa se mantiene en el eje central y a la mitad en $z$. **Conclusión:** El centro de masa coincide con el centro geométrico en $x$ y $y$ debido a la simetría, y está en $z=1$ porque la altura es uniforme y la densidad no depende de $z$.