Question: Dado el potencial escalar $f(x, y, z)=x^2 y+yz^2$
a) Calcula el trabajo realizado por $F=\nabla f$ para mover una partícula desde $A(0,0,0)$ hasta $B(1,2,3)$.
b) Dado el campo $F(x, y)=(2xy, x^2)$ verifica que es conservativo y calcula la integral de línea
$\int_1^C F\cdot dr$ para cualquier curva que una $(0,0)$ con $(2,3)$.
1. **Planteamiento del problema:**
a) Tenemos un potencial escalar $$f(x,y,z) = x^2 y + y z^2$$ y queremos calcular el trabajo realizado por el campo $$F = \nabla f$$ al mover una partícula desde $$A(0,0,0)$$ hasta $$B(1,2,3)$$.
b) Dado el campo vectorial $$F(x,y) = (2xy, x^2)$$, debemos verificar si es conservativo y calcular la integral de línea $$\int_C F \cdot dr$$ para cualquier curva que una $$ (0,0) $$ con $$ (2,3) $$.
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2. **Parte a) Cálculo del trabajo con campo conservativo:**
- El trabajo realizado por un campo conservativo $$F=\nabla f$$ al mover una partícula desde $$A$$ hasta $$B$$ es:
$$W = f(B) - f(A)$$
- Primero calculamos $$f(A)$$:
$$f(0,0,0) = 0^2 \cdot 0 + 0 \cdot 0^2 = 0$$
- Luego calculamos $$f(B)$$:
$$f(1,2,3) = 1^2 \cdot 2 + 2 \cdot 3^2 = 2 + 2 \cdot 9 = 2 + 18 = 20$$
- Por lo tanto, el trabajo es:
$$W = 20 - 0 = 20$$
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3. **Parte b) Verificación de que $$F$$ es conservativo:**
- Para un campo vectorial $$F = (P, Q)$$ en $$\mathbb{R}^2$$, es conservativo si:
$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$$
- Calculamos las derivadas parciales:
$$P = 2xy \Rightarrow \frac{\partial P}{\partial y} = 2x$$
$$Q = x^2 \Rightarrow \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x$$
- Como $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x$$, el campo es conservativo.
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4. **Cálculo de la integral de línea:**
- Como $$F$$ es conservativo, existe un potencial escalar $$\phi(x,y)$$ tal que $$\nabla \phi = F$$.
- Buscamos $$\phi$$:
$$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 2xy \Rightarrow \phi = x^2 y + g(y)$$
- Derivamos $$\phi$$ respecto a $$y$$:
$$\frac{\partial \phi}{\partial y} = x^2 + g'(y)$$
- Igualamos a $$Q = x^2$$:
$$x^2 + g'(y) = x^2 \Rightarrow g'(y) = 0 \Rightarrow g(y) = C$$ constante.
- Por lo tanto, $$\phi(x,y) = x^2 y + C$$.
- La integral de línea entre $$ (0,0) $$ y $$ (2,3) $$ es:
$$\int_C F \cdot dr = \phi(2,3) - \phi(0,0) = (2^2 \cdot 3) - (0) = 4 \cdot 3 = 12$$
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**Respuesta final:**
- a) El trabajo realizado es $$20$$.
- b) El campo es conservativo y la integral de línea es $$12$$.