1. Vamos resolver o problema 20.1, que pede a representação gráfica da região A definida por: $$A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y \leq 4x - 2x^2; y \geq |x - 1| - 1\}$$ 2. A região A é o conjunto dos pontos que estão abaixo da parábola $y = 4x - 2x^2$ e acima da função valor absoluto deslocada $y = |x - 1| - 1$. 3. Para representar graficamente, desenhamos as duas curvas e sombrearemos a região entre elas. 4. Passando para o problema 20.2, queremos escrever a área da região A usando integrais definidas e calcular seu valor. 5. Primeiro, encontramos os pontos de interseção entre as duas curvas para determinar os limites de integração. 6. Igualamos as funções: $$4x - 2x^2 = |x - 1| - 1$$ 7. Como $|x - 1|$ é uma função definida por partes: - Para $x \geq 1$, $|x - 1| = x - 1$ - Para $x < 1$, $|x - 1| = 1 - x$ 8. Resolvemos para cada caso: Para $x \geq 1$: $$4x - 2x^2 = (x - 1) - 1 = x - 2$$ $$4x - 2x^2 = x - 2$$ $$4x - 2x^2 - x + 2 = 0$$ $$-2x^2 + 3x + 2 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para facilitar: $$2x^2 - 3x - 2 = 0$$ Usando a fórmula de Bhaskara: $$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$$ Soluções: $$x = 2$$ ou $$x = -\frac{1}{2}$$ Como estamos considerando $x \geq 1$, a solução válida é $x = 2$. Para $x < 1$: $$4x - 2x^2 = (1 - x) - 1 = -x$$ $$4x - 2x^2 = -x$$ $$4x - 2x^2 + x = 0$$ $$5x - 2x^2 = 0$$ $$x(5 - 2x) = 0$$ Soluções: $$x = 0$$ ou $$x = \frac{5}{2} = 2.5$$ Como $x < 1$, a solução válida é $x = 0$. 9. Portanto, os limites de integração são de $x=0$ até $x=2$. 10. A área da região A é dada pela integral da diferença entre as funções superior e inferior: $$\text{Área} = \int_0^1 \left[(4x - 2x^2) - (1 - x - 1)\right] dx + \int_1^2 \left[(4x - 2x^2) - (x - 1 - 1)\right] dx$$ Simplificando as funções dentro das integrais: Para $0 \leq x < 1$: $$|x - 1| - 1 = (1 - x) - 1 = -x$$ Então a diferença é: $$4x - 2x^2 - (-x) = 4x - 2x^2 + x = 5x - 2x^2$$ Para $1 \leq x \leq 2$: $$|x - 1| - 1 = (x - 1) - 1 = x - 2$$ Diferença: $$4x - 2x^2 - (x - 2) = 4x - 2x^2 - x + 2 = 3x - 2x^2 + 2$$ 11. Calculamos as integrais: $$\int_0^1 (5x - 2x^2) dx = \left[ \frac{5x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{5}{2} - \frac{2}{3} = \frac{15}{6} - \frac{4}{6} = \frac{11}{6}$$ $$\int_1^2 (3x - 2x^2 + 2) dx = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} + 2x \right]_1^2$$ Calculando em $x=2$: $$\frac{3(4)}{2} - \frac{2(8)}{3} + 4 = 6 - \frac{16}{3} + 4 = 10 - \frac{16}{3} = \frac{30}{3} - \frac{16}{3} = \frac{14}{3}$$ Calculando em $x=1$: $$\frac{3(1)}{2} - \frac{2(1)}{3} + 2 = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} + 2 = \frac{9}{6} - \frac{4}{6} + \frac{12}{6} = \frac{17}{6}$$ Diferença: $$\frac{14}{3} - \frac{17}{6} = \frac{28}{6} - \frac{17}{6} = \frac{11}{6}$$ 12. Somando as duas áreas: $$\frac{11}{6} + \frac{11}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \approx 3.6667$$ 13. Portanto, a área da região A é $\boxed{\frac{11}{3}}$ unidades quadradas. 14. Como o usuário pediu apenas a resolução do primeiro problema, encerramos aqui.