1. O problema pede para calcular a área da superfície do cone definido por $$x^2 + y^2 = z^2$$ cortado pelo cilindro $$x^2 + y^2 = 2ax$$ usando integrais duplos. 2. A fórmula para a área de superfície de uma superfície dada por $$z = f(x,y)$$ é: $$\text{Área} = \iint_D \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dA$$ onde $$D$$ é a projeção da superfície no plano $$xy$$. 3. Para o cone, temos $$z = \sqrt{x^2 + y^2}$$ (considerando $$z \geq 0$$). 4. Calculamos as derivadas parciais: $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$$ $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$$ 5. Substituindo na fórmula da área: $$\sqrt{1 + \left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)^2 + \left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2}} = \sqrt{1 + \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$ 6. Portanto, o integrando é constante $$\sqrt{2}$$. 7. Agora, precisamos determinar os limites de integração. A região $$D$$ é a projeção do cone cortado pelo cilindro no plano $$xy$$. 8. O cilindro é dado por $$x^2 + y^2 = 2ax$$. Reescrevendo: $$x^2 - 2ax + y^2 = 0 \Rightarrow (x - a)^2 + y^2 = a^2$$ 9. Isso é um círculo de raio $$a$$ centrado em $$(a,0)$$. 10. Usamos coordenadas polares centradas na origem: $$x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta$$ 11. Substituindo na equação do cilindro: $$r^2 = 2a r \cos \theta \Rightarrow r = 0 \text{ ou } r = 2a \cos \theta$$ 12. Como $$r \geq 0$$, e $$\cos \theta \geq 0$$ para $$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$$, os limites são: $$0 \leq r \leq 2a \cos \theta$$ $$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$$ 13. A área da superfície é então: $$\text{Área} = \iint_D \sqrt{2} \, dA = \sqrt{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2a \cos \theta} r \, dr \, d\theta$$ 14. Calculando a integral interna: $$\int_0^{2a \cos \theta} r \, dr = \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^{2a \cos \theta} = \frac{(2a \cos \theta)^2}{2} = \frac{4a^2 \cos^2 \theta}{2} = 2a^2 \cos^2 \theta$$ 15. Substituindo na integral externa: $$\text{Área} = \sqrt{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2a^2 \cos^2 \theta \, d\theta = 2a^2 \sqrt{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta$$ 16. Usamos a identidade: $$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$ 17. Assim: $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta + \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2\theta \, d\theta$$ 18. Calculando as integrais: $$\frac{1}{2} \times \pi + \frac{1}{2} \times 0 = \frac{\pi}{2}$$ 19. Portanto: $$\text{Área} = 2a^2 \sqrt{2} \times \frac{\pi}{2} = a^2 \pi \sqrt{2}$$ 20. Resposta final: $$\boxed{\text{Área} = a^2 \pi \sqrt{2}}$$