1. Planteamos el problema: estudiar las asíntotas de la función $$f(x) = \frac{\ln x}{x^2 - 9}$$. 2. Identificamos las posibles asíntotas verticales. Estas ocurren donde el denominador es cero y el numerador no es cero o no se anula al mismo ritmo. El denominador es $$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$$, que se anula en $$x=3$$ y $$x=-3$$. 3. Verificamos el dominio de $$f(x)$$: el logaritmo natural $$\ln x$$ está definido solo para $$x>0$$, por lo que $$x=-3$$ no está en el dominio y no es asíntota vertical para esta función. 4. Por lo tanto, la única asíntota vertical posible es en $$x=3$$. 5. Estudiamos el comportamiento de $$f(x)$$ cuando $$x \to 3^+$$ y $$x \to 3^-$$ para confirmar la asíntota vertical. 6. Para $$x \to 3^+$$, el denominador $$x^2 - 9 \to 0^+$$ y $$\ln x$$ es positivo y finito, por lo que $$f(x) \to +\infty$$ o $$-\infty$$ dependiendo del signo. 7. Para $$x \to 3^-$$, no está en el dominio porque $$x<0$$ no es válido para $$\ln x$$, así que no consideramos este límite. 8. Así, $$x=3$$ es una asíntota vertical. 9. Ahora, estudiamos las asíntotas horizontales. Para $$x \to +\infty$$, analizamos $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2 - 9}$$. 10. Como $$\ln x$$ crece mucho más lento que $$x^2$$, el límite es $$0$$. 11. Por lo tanto, $$y=0$$ es una asíntota horizontal. 12. Resumen: - Asíntota vertical en $$x=3$$. - Asíntota horizontal en $$y=0$$. - No hay asíntota vertical en $$x=-3$$ porque $$x=-3$$ no está en el dominio de $$f$$.