1. **Enunciado do problema:** Calcular a carga total distribuída numa placa retangular onde a densidade de carga elétrica é dada por $\rho(x,y) = x + y$, na região definida por $0 \leq x \leq 1$ e $0 \leq y \leq 2$. 2. **Fórmula usada:** A carga total $Q$ é dada pela integral dupla da densidade sobre a região $R$: $$Q = \iint_R \rho(x,y) \, dA$$ onde $dA = dx \, dy$. 3. **Configuração da integral:** Como a região é retangular, podemos escrever: $$Q = \int_0^1 \int_0^2 (x + y) \, dy \, dx$$ 4. **Cálculo da integral interna:** $$\int_0^2 (x + y) \, dy = \int_0^2 x \, dy + \int_0^2 y \, dy = x \int_0^2 dy + \int_0^2 y \, dy$$ 5. **Avaliação das integrais:** $$x \int_0^2 dy = x [y]_0^2 = 2x$$ $$\int_0^2 y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^2 = \frac{4}{2} = 2$$ 6. **Integral interna simplificada:** $$\int_0^2 (x + y) \, dy = 2x + 2$$ 7. **Integral externa:** $$Q = \int_0^1 (2x + 2) \, dx = \int_0^1 2x \, dx + \int_0^1 2 \, dx$$ 8. **Avaliação da integral externa:** $$\int_0^1 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_0^1 = 1$$ $$\int_0^1 2 \, dx = [2x]_0^1 = 2$$ 9. **Resultado final:** $$Q = 1 + 2 = 3$$ Portanto, a carga total distribuída na placa é $3$ unidades de carga.