Question: Calcular masa
Centro de masa de un sólido
Encuentra el centro de masa del tetraedro limitado por los planos $x=0$, $y=0$, $z=0$ y $x+y+z=1$, si la densidad es constante $\rho(x,y,z)=k$.
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos encontrar el centro de masa del tetraedro definido por los planos $x=0$, $y=0$, $z=0$ y $x+y+z=1$ con densidad constante $\rho(x,y,z)=k$.
2. **Fórmulas importantes:**
El centro de masa $(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$ para un sólido con densidad constante se calcula como:
$$\bar{x} = \frac{1}{M} \iiint_V x \rho \, dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{M} \iiint_V y \rho \, dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{M} \iiint_V z \rho \, dV$$
donde $M = \iiint_V \rho \, dV$ es la masa total.
3. **Volumen y masa total:**
El volumen del tetraedro es
$$V = \frac{1}{6}$$
porque es un tetraedro con vértices en $(0,0,0)$ y plano $x+y+z=1$.
La masa total es
$$M = \iiint_V k \, dV = k \cdot V = k \cdot \frac{1}{6} = \frac{k}{6}$$
4. **Límites de integración:**
Para integrar, tomamos $x$ de $0$ a $1$, $y$ de $0$ a $1 - x$, y $z$ de $0$ a $1 - x - y$.
5. **Cálculo de $\bar{x}$:**
$$\bar{x} = \frac{1}{M} \iiint_V x k \, dV = \frac{1}{M} k \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} x \, dz \, dy \, dx$$
Integrando en $z$:
$$\int_0^{1-x-y} x \, dz = x(1 - x - y)$$
Entonces
$$\bar{x} = \frac{k}{M} \int_0^1 \int_0^{1-x} x(1 - x - y) \, dy \, dx$$
Integrando en $y$:
$$\int_0^{1-x} x(1 - x - y) \, dy = x \left[(1 - x)y - \frac{y^2}{2}\right]_0^{1-x} = x \left[(1 - x)(1 - x) - \frac{(1 - x)^2}{2}\right] = x \frac{(1 - x)^2}{2}$$
Entonces
$$\bar{x} = \frac{k}{M} \int_0^1 x \frac{(1 - x)^2}{2} \, dx = \frac{k}{2M} \int_0^1 x (1 - x)^2 \, dx$$
Expandimos:
$$x(1 - x)^2 = x(1 - 2x + x^2) = x - 2x^2 + x^3$$
Integrando:
$$\int_0^1 (x - 2x^2 + x^3) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6}{12} - \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$$
Por lo tanto
$$\bar{x} = \frac{k}{2M} \cdot \frac{1}{12} = \frac{k}{24M}$$
Recordando que $M = \frac{k}{6}$, tenemos
$$\bar{x} = \frac{k}{24 \cdot \frac{k}{6}} = \frac{k}{24} \cdot \frac{6}{k} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$$
6. **Simetría para $\bar{y}$ y $\bar{z}$:**
Por simetría del tetraedro y densidad constante,
$$\bar{y} = \bar{x} = \frac{1}{4}, \quad \bar{z} = \frac{1}{4}$$
7. **Respuesta final:**
El centro de masa es
$$\boxed{\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)}$$