1. Planteamiento del problema: Dada la función $$t(t) = -t^3 + 2t^2 + 5t - 3$$, se pide calcular: a. El cociente diferencial $$\frac{t(t+h) - t(t)}{h}$$. b. El límite de este cociente cuando $$h \to 0$$. 2. Fórmulas y reglas importantes: - El cociente diferencial es la base para encontrar la derivada de una función. - Para calcular $$t(t+h)$$, sustituimos $$t+h$$ en la función original. - Simplificamos y dividimos por $$h$$. - Finalmente, evaluamos el límite cuando $$h$$ tiende a cero para obtener la derivada. 3. Cálculo de $$t(t+h)$$: $$t(t+h) = -(t+h)^3 + 2(t+h)^2 + 5(t+h) - 3$$ Expandimos cada término: $$(t+h)^3 = t^3 + 3t^2h + 3th^2 + h^3$$ $$(t+h)^2 = t^2 + 2th + h^2$$ Entonces: $$t(t+h) = -\left(t^3 + 3t^2h + 3th^2 + h^3\right) + 2\left(t^2 + 2th + h^2\right) + 5(t+h) - 3$$ $$= -t^3 - 3t^2h - 3th^2 - h^3 + 2t^2 + 4th + 2h^2 + 5t + 5h - 3$$ 4. Calculamos $$t(t+h) - t(t)$$: Recordando que $$t(t) = -t^3 + 2t^2 + 5t - 3$$, $$t(t+h) - t(t) = \left(-t^3 - 3t^2h - 3th^2 - h^3 + 2t^2 + 4th + 2h^2 + 5t + 5h - 3\right) - \left(-t^3 + 2t^2 + 5t - 3\right)$$ Simplificamos términos semejantes: $$= -t^3 - 3t^2h - 3th^2 - h^3 + 2t^2 + 4th + 2h^2 + 5t + 5h - 3 + t^3 - 2t^2 - 5t + 3$$ $$= -3t^2h - 3th^2 - h^3 + 4th + 2h^2 + 5h$$ 5. Dividimos por $$h$$: $$\frac{t(t+h) - t(t)}{h} = \frac{-3t^2h - 3th^2 - h^3 + 4th + 2h^2 + 5h}{h}$$ Sacamos factor común $$h$$ en el numerador: $$= \frac{h(-3t^2 - 3th - h^2 + 4t + 2h + 5)}{h}$$ Aplicamos la cancelación: $$= \cancel{\frac{h}{h}}(-3t^2 - 3th - h^2 + 4t + 2h + 5)$$ $$= -3t^2 - 3th - h^2 + 4t + 2h + 5$$ 6. Evaluamos el límite cuando $$h \to 0$$: $$\lim_{h \to 0} \left(-3t^2 - 3th - h^2 + 4t + 2h + 5\right) = -3t^2 + 4t + 5$$ 7. Respuesta final: a. $$\frac{t(t+h) - t(t)}{h} = -3t^2 - 3th - h^2 + 4t + 2h + 5$$ b. $$\lim_{h \to 0} \frac{t(t+h) - t(t)}{h} = -3t^2 + 4t + 5$$ Esto representa la derivada de la función $$t(t)$$ en el punto $$t$$.