1. Vamos estudar a concavidade da função $f(x) = \frac{x-1}{x^2+1}$ e a existência de pontos de inflexão. 2. Primeiro, calculamos a primeira derivada $f'(x)$ usando a regra do quociente: $$f'(x) = \frac{(1)(x^2+1) - (x-1)(2x)}{(x^2+1)^2}$$ 3. Simplificando o numerador: $$f'(x) = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 + 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2}$$ 4. Agora, calculamos a segunda derivada $f''(x)$ para analisar a concavidade: Usamos a regra do quociente novamente para $f'(x)$: $$f''(x) = \frac{\frac{d}{dx}(-x^2 + 2x + 1)(x^2+1)^2 - (-x^2 + 2x + 1) \frac{d}{dx}((x^2+1)^2)}{(x^2+1)^4}$$ 5. Calculando as derivadas: $$\frac{d}{dx}(-x^2 + 2x + 1) = -2x + 2$$ $$\frac{d}{dx}((x^2+1)^2) = 2(x^2+1)(2x) = 4x(x^2+1)$$ 6. Substituindo: $$f''(x) = \frac{(-2x + 2)(x^2+1)^2 - (-x^2 + 2x + 1)4x(x^2+1)}{(x^2+1)^4}$$ 7. Fatorando $(x^2+1)$ no numerador: $$f''(x) = \frac{(x^2+1)[(-2x + 2)(x^2+1) - 4x(-x^2 + 2x + 1)]}{(x^2+1)^4} = \frac{(-2x + 2)(x^2+1) - 4x(-x^2 + 2x + 1)}{(x^2+1)^3}$$ 8. Expandindo os termos do numerador: $$(-2x + 2)(x^2+1) = -2x^3 - 2x + 2x^2 + 2$$ $$-4x(-x^2 + 2x + 1) = 4x^3 - 8x^2 - 4x$$ 9. Somando os termos: $$-2x^3 - 2x + 2x^2 + 2 + 4x^3 - 8x^2 - 4x = ( -2x^3 + 4x^3 ) + ( 2x^2 - 8x^2 ) + ( -2x - 4x ) + 2 = 2x^3 - 6x^2 - 6x + 2$$ 10. Portanto: $$f''(x) = \frac{2x^3 - 6x^2 - 6x + 2}{(x^2+1)^3}$$ 11. Para encontrar pontos de inflexão, resolvemos $f''(x) = 0$: $$2x^3 - 6x^2 - 6x + 2 = 0$$ Dividindo por 2: $$x^3 - 3x^2 - 3x + 1 = 0$$ 12. Tentamos encontrar raízes racionais pelo teste de divisores de 1: $\pm1$. Testando $x=1$: $$1 - 3 - 3 + 1 = -4 \neq 0$$ Testando $x=-1$: $$-1 - 3 + 3 + 1 = 0$$ 13. Como $x=-1$ é raiz, fazemos divisão sintética para fatorar: $$x^3 - 3x^2 - 3x + 1 = (x + 1)(x^2 - 4x + 1)$$ 14. Resolvendo $x^2 - 4x + 1 = 0$ usando a fórmula de Bhaskara: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$$ 15. Portanto, os pontos de inflexão são em: $$x = -1, \quad x = 2 - \sqrt{3}, \quad x = 2 + \sqrt{3}$$ 16. Para determinar o sentido da concavidade, analisamos o sinal de $f''(x)$ nos intervalos determinados por esses pontos. 17. Como o denominador $(x^2+1)^3$ é sempre positivo, o sinal de $f''(x)$ depende do numerador $2x^3 - 6x^2 - 6x + 2$. 18. Testando valores em cada intervalo: - Para $x < -1$, por exemplo $x=-2$, o numerador é negativo, concavidade para baixo. - Para $-1 < x < 2 - \sqrt{3}$, por exemplo $x=0$, o numerador é positivo, concavidade para cima. - Para $2 - \sqrt{3} < x < 2 + \sqrt{3}$, por exemplo $x=2$, o numerador é negativo, concavidade para baixo. - Para $x > 2 + \sqrt{3}$, por exemplo $x=4$, o numerador é positivo, concavidade para cima. 19. Resumo: - Pontos de inflexão em $x = -1, 2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}$. - Concavidade alterna entre cima e baixo nos intervalos definidos por esses pontos. Resposta final: A função $f$ tem pontos de inflexão em $x = -1$, $x = 2 - \sqrt{3}$ e $x = 2 + \sqrt{3}$. A concavidade é para baixo em $(-\infty, -1)$ e $(2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$, e para cima em $(-1, 2 - \sqrt{3})$ e $(2 + \sqrt{3}, +\infty)$.