1. O problema pede para indicar as concavidades e os pontos de inflexão da função segunda derivada $$f''(x) = -2\sin(2x) - 2\sin(x)$$. 2. Para isso, precisamos analisar o sinal de $$f''(x)$$ para determinar as concavidades: - Se $$f''(x) > 0$$, a função original $$f(x)$$ é côncava para cima. - Se $$f''(x) < 0$$, a função original $$f(x)$$ é côncava para baixo. 3. Pontos de inflexão ocorrem onde $$f''(x) = 0$$ e há mudança de concavidade (ou seja, o sinal de $$f''(x)$$ muda). 4. Vamos resolver $$f''(x) = 0$$: $$-2\sin(2x) - 2\sin(x) = 0$$ $$\Rightarrow -2\sin(2x) = 2\sin(x)$$ $$\Rightarrow \cancel{-2}\sin(2x) = \cancel{-2}(-\sin(x))$$ $$\Rightarrow \sin(2x) = -\sin(x)$$ 5. Usando a identidade $$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$: $$2\sin(x)\cos(x) = -\sin(x)$$ 6. Colocando todos os termos de um lado: $$2\sin(x)\cos(x) + \sin(x) = 0$$ $$\sin(x)(2\cos(x) + 1) = 0$$ 7. Portanto, as soluções são: $$\sin(x) = 0 \quad \text{ou} \quad 2\cos(x) + 1 = 0$$ 8. Resolvendo cada uma: - $$\sin(x) = 0 \Rightarrow x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ - $$2\cos(x) + 1 = 0 \Rightarrow \cos(x) = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 9. Para confirmar pontos de inflexão, verificamos se $$f''(x)$$ muda de sinal nestes pontos. 10. Conclusão: - Concavidade para cima onde $$f''(x) > 0$$. - Concavidade para baixo onde $$f''(x) < 0$$. - Pontos de inflexão em $$x = k\pi$$ e $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$$, com $$k$$ inteiro, onde ocorre mudança de concavidade.