1. **Planteamiento del problema:** Se tiene una función por partes que modela la temperatura $T(t)$ de una pieza metálica en función del tiempo $t$: $$ T(t) = \begin{cases} 2t^2 - 8t + 10 & \text{si } 0 \leq t \leq 3 \\ \frac{kt + 1}{t - 1} & \text{si } t > 3 \end{cases} $$ Se pide: a) Encontrar $k$ para que $T(t)$ sea continua en $t=3$. b) Calcular $T''(t)$ para $0 \leq t \leq 3$ e interpretar físicamente. c) Evaluar $T'(2)$ y $T'(5)$ e interpretar cada resultado. 2. **Parte a) Continuidad en $t=3$:** Para que $T(t)$ sea continua en $t=3$, los límites laterales deben coincidir y ser iguales al valor de la función en $t=3$. - Evaluamos el tramo izquierdo en $t=3$: $$ T(3) = 2(3)^2 - 8(3) + 10 = 18 - 24 + 10 = 4 $$ - Evaluamos el tramo derecho en $t=3$: $$ \lim_{t \to 3^+} T(t) = \lim_{t \to 3^+} \frac{kt + 1}{t - 1} = \frac{3k + 1}{3 - 1} = \frac{3k + 1}{2} $$ Igualamos para continuidad: $$ 4 = \frac{3k + 1}{2} $$ Multiplicamos ambos lados por 2: $$ 8 = 3k + 1 $$ Restamos 1: $$ 8 - 1 = 3k $$ $$ 7 = 3k $$ Dividimos entre 3: $$ \cancel{3}k = \frac{7}{\cancel{3}} $$ $$ k = \frac{7}{3} $$ 3. **Parte b) Segunda derivada $T''(t)$ para $0 \leq t \leq 3$:** La función en este intervalo es: $$ T(t) = 2t^2 - 8t + 10 $$ Primero calculamos la primera derivada: $$ T'(t) = \frac{d}{dt}(2t^2) - \frac{d}{dt}(8t) + \frac{d}{dt}(10) = 4t - 8 + 0 = 4t - 8 $$ Ahora la segunda derivada: $$ T''(t) = \frac{d}{dt}(4t - 8) = 4 $$ **Interpretación física:** La segunda derivada $T''(t)$ representa la aceleración o tasa de cambio de la velocidad de enfriamiento. Aquí es constante e igual a 4, lo que indica que la temperatura cambia con una aceleración constante en el intervalo $0 \leq t \leq 3$. 4. **Parte c) Evaluar $T'(2)$ y $T'(5)$ e interpretar:** - Para $t=2$ (primer tramo): $$ T'(2) = 4(2) - 8 = 8 - 8 = 0 $$ Esto significa que en $t=2$ la temperatura tiene un punto crítico, es decir, la tasa de cambio instantánea de la temperatura es cero, indicando un posible máximo, mínimo o punto de inflexión. - Para $t=5$ (segundo tramo), primero recordamos que: $$ T(t) = \frac{kt + 1}{t - 1} \quad \text{con } k = \frac{7}{3} $$ Calculamos la derivada usando la regla del cociente: $$ T'(t) = \frac{(k)(t - 1) - (kt + 1)(1)}{(t - 1)^2} = \frac{k(t - 1) - (kt + 1)}{(t - 1)^2} $$ Simplificamos el numerador: $$ k(t - 1) - kt - 1 = kt - k - kt - 1 = -k - 1 $$ Por lo tanto: $$ T'(t) = \frac{-k - 1}{(t - 1)^2} $$ Evaluamos en $t=5$: $$ T'(5) = \frac{-\frac{7}{3} - 1}{(5 - 1)^2} = \frac{-\frac{7}{3} - \frac{3}{3}}{16} = \frac{-\frac{10}{3}}{16} = -\frac{10}{3 \times 16} = -\frac{10}{48} = -\frac{5}{24} $$ **Interpretación:** En $t=5$, la temperatura está disminuyendo a una tasa de $\frac{5}{24}$ grados por minuto (negativo indica descenso), lo que refleja que la pieza sigue enfriándose pero a una velocidad menor que en el primer tramo. **Respuesta final:** - $k = \frac{7}{3}$ - $T''(t) = 4$ para $0 \leq t \leq 3$, aceleración constante en el enfriamiento. - $T'(2) = 0$, temperatura con tasa de cambio nula (posible extremo). - $T'(5) = -\frac{5}{24}$, temperatura decreciendo lentamente.