1. Planteamos el problema: Encontrar los valores de $a$ y $b$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} \frac{3x^2 - 9}{x - \sqrt{3}} & x < \sqrt{3} \\ ax + b & \sqrt{3} \leq x \leq 5 \\ \frac{4x^2 - 10x - 50}{x - 5} & x > 5 \end{cases}$$ sea continua en todo $\mathbb{R}$. 2. Para que $f$ sea continua en $x = \sqrt{3}$, deben cumplirse: $$\lim_{x \to \sqrt{3}^-} f(x) = f(\sqrt{3}) = \lim_{x \to \sqrt{3}^+} f(x)$$ 3. Calculamos el límite por la izquierda en $x = \sqrt{3}$: Simplificamos el numerador: $$3x^2 - 9 = 3(x^2 - 3) = 3(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$$ Entonces, $$\frac{3x^2 - 9}{x - \sqrt{3}} = \frac{3(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})}{x - \sqrt{3}}$$ Cancelamos el factor común: $$\frac{3\cancel{(x - \sqrt{3})}(x + \sqrt{3})}{\cancel{(x - \sqrt{3})}} = 3(x + \sqrt{3})$$ Evaluamos el límite: $$\lim_{x \to \sqrt{3}^-} f(x) = 3(\sqrt{3} + \sqrt{3}) = 3 \times 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$$ 4. Calculamos el valor de la función en $x = \sqrt{3}$ usando la definición por tramos: $$f(\sqrt{3}) = a\sqrt{3} + b$$ 5. Para continuidad en $x = \sqrt{3}$: $$a\sqrt{3} + b = 6\sqrt{3} \quad (1)$$ 6. Para continuidad en $x = 5$, igualamos los límites laterales: $$\lim_{x \to 5^-} f(x) = f(5) = \lim_{x \to 5^+} f(x)$$ 7. Límite por la derecha en $x = 5$: Simplificamos el numerador: $$4x^2 - 10x - 50$$ Probamos factorización: $$4x^2 - 10x - 50 = 2(2x^2 - 5x - 25)$$ Buscamos raíces de $2x^2 - 5x - 25$: $$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times (-25) = 25 + 200 = 225$$ $$x = \frac{5 \pm 15}{4}$$ Raíces: $$x = 5, x = -\frac{5}{2}$$ Entonces, $$2x^2 - 5x - 25 = (x - 5)(2x + 5)$$ Por tanto, $$4x^2 - 10x - 50 = 2(x - 5)(2x + 5)$$ 8. Simplificamos la función para $x > 5$: $$\frac{4x^2 - 10x - 50}{x - 5} = \frac{2(x - 5)(2x + 5)}{x - 5} = 2(2x + 5) = 4x + 10$$ 9. Evaluamos el límite por la derecha en $x = 5$: $$\lim_{x \to 5^+} f(x) = 4(5) + 10 = 20 + 10 = 30$$ 10. Evaluamos la función en $x = 5$ usando la definición por tramos: $$f(5) = a(5) + b = 5a + b$$ 11. Para continuidad en $x = 5$: $$5a + b = 30 \quad (2)$$ 12. Resolvemos el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} a\sqrt{3} + b = 6\sqrt{3} \\ 5a + b = 30 \end{cases}$$ 13. Restamos (1) de (2) para eliminar $b$: $$5a + b - (a\sqrt{3} + b) = 30 - 6\sqrt{3}$$ $$5a - a\sqrt{3} = 30 - 6\sqrt{3}$$ $$a(5 - \sqrt{3}) = 30 - 6\sqrt{3}$$ 14. Despejamos $a$: $$a = \frac{30 - 6\sqrt{3}}{5 - \sqrt{3}}$$ 15. Racionalizamos el denominador: $$a = \frac{30 - 6\sqrt{3}}{5 - \sqrt{3}} \times \frac{5 + \sqrt{3}}{5 + \sqrt{3}} = \frac{(30 - 6\sqrt{3})(5 + \sqrt{3})}{25 - 3} = \frac{(30 - 6\sqrt{3})(5 + \sqrt{3})}{22}$$ 16. Expandimos el numerador: $$30 \times 5 = 150$$ $$30 \times \sqrt{3} = 30\sqrt{3}$$ $$-6\sqrt{3} \times 5 = -30\sqrt{3}$$ $$-6\sqrt{3} \times \sqrt{3} = -6 \times 3 = -18$$ Sumamos: $$150 + 30\sqrt{3} - 30\sqrt{3} - 18 = 150 - 18 = 132$$ 17. Por tanto: $$a = \frac{132}{22} = 6$$ 18. Sustituimos $a=6$ en (1) para hallar $b$: $$6 \times \sqrt{3} + b = 6\sqrt{3}$$ $$b = 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 0$$ 19. Respuesta final: $$\boxed{a = 6, \quad b = 0}$$