1. **Planteamiento del problema:** Estudiar la continuidad de las funciones dadas: a) $$f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$ b) $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2}, & x \neq 2 \\ 3, & x = 2 \end{cases}$$ 2. **Regla de continuidad:** Una función es continua en un punto $x=a$ si se cumplen tres condiciones: - $f(a)$ está definida. - Existe el límite $$\lim_{x \to a} f(x)$$. - El límite es igual al valor de la función: $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$. 3. **Análisis de la función a):** - La función es racional y está definida para todo $x \neq 3$ (denominador no puede ser cero). - Factorizamos el numerador: $$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$ - Simplificamos la función para $x \neq 3$: $$f(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3}$$ $$f(x) = \cancel{\frac{(x - 3)}{(x - 3)}} (x + 3) = x + 3$$ - El límite cuando $x \to 3$ es: $$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6$$ - Pero $f(3)$ no está definida porque el denominador es cero. **Conclusión:** La función no es continua en $x=3$ porque no está definida ahí. 4. **Análisis de la función b):** - Para $x \neq 2$, la función es: $$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$ - Factorizamos el numerador: $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ - Simplificamos para $x \neq 2$: $$f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \cancel{\frac{(x - 2)}{(x - 2)}} (x + 2) = x + 2$$ - Calculamos el límite cuando $x \to 2$: $$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$$ - El valor de la función en $x=2$ es $f(2) = 3$. **Conclusión:** La función no es continua en $x=2$ porque el límite no coincide con el valor de la función. **Respuesta final:** - a) No es continua en $x=3$ porque no está definida. - b) No es continua en $x=2$ porque $$\lim_{x \to 2} f(x) = 4 \neq f(2) = 3$$.