1. **Planteamiento del problema:** Queremos determinar los intervalos donde la función $$g(x) = \frac{3x^2 - 27}{x^2 + x - 2}$$ es creciente o decreciente. 2. **Fórmula para crecimiento y decrecimiento:** La función es creciente donde su derivada es positiva $$g'(x) > 0$$ y decreciente donde $$g'(x) < 0$$. 3. **Derivada de la función:** Usamos la regla del cociente: $$g'(x) = \frac{(3x^2 - 27)'(x^2 + x - 2) - (3x^2 - 27)(x^2 + x - 2)'}{(x^2 + x - 2)^2}$$ Calculamos las derivadas: $$(3x^2 - 27)' = 6x$$ $$(x^2 + x - 2)' = 2x + 1$$ Entonces: $$g'(x) = \frac{6x(x^2 + x - 2) - (3x^2 - 27)(2x + 1)}{(x^2 + x - 2)^2}$$ 4. **Simplificación del numerador:** Expandimos y simplificamos: $$6x(x^2 + x - 2) = 6x^3 + 6x^2 - 12x$$ $$(3x^2 - 27)(2x + 1) = 6x^3 + 3x^2 - 54x - 27$$ Por lo tanto: $$\text{Numerador} = 6x^3 + 6x^2 - 12x - (6x^3 + 3x^2 - 54x - 27)$$ $$= 6x^3 + 6x^2 - 12x - 6x^3 - 3x^2 + 54x + 27$$ $$= (6x^3 - 6x^3) + (6x^2 - 3x^2) + (-12x + 54x) + 27$$ $$= 3x^2 + 42x + 27$$ 5. **Derivada final:** $$g'(x) = \frac{3x^2 + 42x + 27}{(x^2 + x - 2)^2}$$ 6. **Determinar signos:** El denominador siempre es positivo excepto en los puntos donde no está definida la función ($x = -2, 1$), porque es un cuadrado. Por lo tanto, el signo de $$g'(x)$$ depende del numerador: $$3x^2 + 42x + 27 = 3(x^2 + 14x + 9)$$ 7. **Encontrar raíces del numerador:** $$x^2 + 14x + 9 = 0$$ Usamos la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2} = \frac{-14 \pm \sqrt{196 - 36}}{2} = \frac{-14 \pm \sqrt{160}}{2}$$ $$= \frac{-14 \pm 4\sqrt{10}}{2} = -7 \pm 2\sqrt{10}$$ 8. **Intervalos para el signo del numerador:** - Para $$x < -7 - 2\sqrt{10}$$, el numerador es positivo (ya que el coeficiente principal es positivo y la parábola abre hacia arriba). - Entre $$-7 - 2\sqrt{10}$$ y $$-7 + 2\sqrt{10}$$, el numerador es negativo. - Para $$x > -7 + 2\sqrt{10}$$, el numerador es positivo. 9. **Conclusión:** - $$g(x)$$ es creciente en $$(-\infty, -7 - 2\sqrt{10}) \cup (-7 + 2\sqrt{10}, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, \infty)$$ (considerando que la función no está definida en $$x = -2$$ y $$x = 1$$). - $$g(x)$$ es decreciente en $$(-7 - 2\sqrt{10}, -7 + 2\sqrt{10})$$. Nota: Los puntos $$x = -2$$ y $$x = 1$$ son asíntotas verticales y no pertenecen al dominio. **Respuesta final:** $$\text{Crecimiento en } (-\infty, -7 - 2\sqrt{10}) \cup (-7 + 2\sqrt{10}, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, \infty)$$ $$\text{Decrecimiento en } (-7 - 2\sqrt{10}, -7 + 2\sqrt{10})$$