1. **Planteamiento del problema:** Hallar la curvatura y los puntos de inflexión de la función $$h(x) = \frac{3x - 5}{x^2}$$. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - La curvatura $$\kappa(x)$$ de una función $$y = f(x)$$ se calcula con: $$\kappa(x) = \frac{|y''(x)|}{(1 + (y'(x))^2)^{3/2}}$$ - Los puntos de inflexión ocurren donde la segunda derivada $$y''(x)$$ cambia de signo, es decir, donde $$y''(x) = 0$$ y cambia de concavidad. 3. **Derivación de la función:** Primero, simplificamos $$h(x)$$: $$h(x) = \frac{3x - 5}{x^2} = \frac{3x}{x^2} - \frac{5}{x^2} = 3x^{-1} - 5x^{-2}$$ Derivamos primera vez: $$h'(x) = -3x^{-2} + 10x^{-3}$$ Derivamos segunda vez: $$h''(x) = 6x^{-3} - 30x^{-4} = \frac{6}{x^3} - \frac{30}{x^4}$$ 4. **Encontrar puntos de inflexión:** Igualamos $$h''(x) = 0$$: $$\frac{6}{x^3} - \frac{30}{x^4} = 0$$ Multiplicamos por $$x^4$$ para eliminar denominadores: $$6x - 30 = 0$$ $$6x = 30$$ $$x = 5$$ 5. **Verificar cambio de concavidad:** Probamos valores de $$h''(x)$$ a la izquierda y derecha de $$x=5$$: - Para $$x=4$$: $$h''(4) = \frac{6}{64} - \frac{30}{256} = 0.09375 - 0.1171875 = -0.0234375 < 0$$ (concavidad hacia abajo) - Para $$x=6$$: $$h''(6) = \frac{6}{216} - \frac{30}{1296} = 0.02778 - 0.02315 = 0.00463 > 0$$ (concavidad hacia arriba) Hay cambio de concavidad, por lo tanto, $$x=5$$ es punto de inflexión. 6. **Valor de la función en el punto de inflexión:** $$h(5) = \frac{3(5) - 5}{5^2} = \frac{15 - 5}{25} = \frac{10}{25} = 0.4$$ 7. **Calcular la curvatura $$\kappa(x)$$:** Recordamos: $$h'(x) = -3x^{-2} + 10x^{-3}$$ $$h''(x) = 6x^{-3} - 30x^{-4}$$ La curvatura es: $$\kappa(x) = \frac{|h''(x)|}{(1 + (h'(x))^2)^{3/2}}$$ Este valor depende de $$x$$, por ejemplo, en $$x=5$$: Calculamos $$h'(5)$$: $$h'(5) = -3(5)^{-2} + 10(5)^{-3} = -3/25 + 10/125 = -0.12 + 0.08 = -0.04$$ Calculamos $$h''(5)$$: $$h''(5) = 6/125 - 30/625 = 0.048 - 0.048 = 0$$ La curvatura en $$x=5$$ es cero, lo que coincide con el punto de inflexión. **Respuesta final:** - Punto de inflexión en $$x=5$$ con valor $$h(5) = 0.4$$. - La curvatura $$\kappa(x) = \frac{|6x^{-3} - 30x^{-4}|}{(1 + (-3x^{-2} + 10x^{-3})^2)^{3/2}}$$.