1. Planteamos el problema: Encontrar la derivada direccional de la función $$f(x,y) = e^{4x^2y}$$ en el punto $$P(1,4)$$ en la dirección del vector $$\mathbf{v} = \langle -2,-1 \rangle$$. 2. Recordemos que la derivada direccional de $$f$$ en $$P$$ en la dirección del vector unitario $$\mathbf{u}$$ se calcula con la fórmula: $$ D_{\mathbf{u}}f(P) = \nabla f(P) \cdot \mathbf{u} $$ Donde $$\nabla f(P)$$ es el gradiente de $$f$$ en $$P$$ y $$\mathbf{u}$$ es el vector unitario en la dirección de $$\mathbf{v}$$. 3. Primero, calculamos el gradiente $$\nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$$. - Derivada parcial respecto a $$x$$: $$ \frac{\partial f}{\partial x} = e^{4x^2y} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(4x^2y) = e^{4x^2y} \cdot 8xy $$ - Derivada parcial respecto a $$y$$: $$ \frac{\partial f}{\partial y} = e^{4x^2y} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(4x^2y) = e^{4x^2y} \cdot 4x^2 $$ 4. Evaluamos el gradiente en el punto $$P(1,4)$$: $$ \nabla f(1,4) = \left( e^{4 \cdot 1^2 \cdot 4} \cdot 8 \cdot 1 \cdot 4, e^{4 \cdot 1^2 \cdot 4} \cdot 4 \cdot 1^2 \right) = \left( e^{16} \cdot 32, e^{16} \cdot 4 \right) $$ 5. Ahora, normalizamos el vector $$\mathbf{v} = \langle -2, -1 \rangle$$ para obtener el vector unitario $$\mathbf{u}$$: $$ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} $$ $$ \mathbf{u} = \left\langle \frac{-2}{\sqrt{5}}, \frac{-1}{\sqrt{5}} \right\rangle $$ 6. Finalmente, calculamos la derivada direccional: $$ D_{\mathbf{u}}f(1,4) = \nabla f(1,4) \cdot \mathbf{u} = \left( 32 e^{16}, 4 e^{16} \right) \cdot \left( \frac{-2}{\sqrt{5}}, \frac{-1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( 32 e^{16} \cdot (-2) + 4 e^{16} \cdot (-1) \right) $$ $$ = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( -64 e^{16} - 4 e^{16} \right) = \frac{-68 e^{16}}{\sqrt{5}} $$ **Respuesta final:** $$ D_{\mathbf{v}}f(1,4) = \frac{-68 e^{16}}{\sqrt{5}} $$