1. Planteamos el problema: calcular la derivada $\frac{dy}{dx}$ de la función $y = x \sqrt{x^2 + 1}$ en $x = 3$. 2. La función es un producto de dos funciones: $f(x) = x$ y $g(x) = \sqrt{x^2 + 1} = (x^2 + 1)^{1/2}$. 3. Usamos la regla del producto para derivar: $$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ 4. Derivamos cada función: - $f'(x) = 1$ - Para $g'(x)$ usamos la regla de la cadena: $$g'(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$ 5. Sustituimos en la regla del producto: $$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} + x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{x^2 + 1} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}$$ 6. Simplificamos sumando las fracciones con denominador común: $$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} \cdot \sqrt{x^2 + 1} + x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x^2 + 1 + x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{2x^2 + 1}{\sqrt{x^2 + 1}}$$ 7. Evaluamos en $x = 3$: $$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=3} = \frac{2(3)^2 + 1}{\sqrt{(3)^2 + 1}} = \frac{2 \cdot 9 + 1}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{18 + 1}{\sqrt{10}} = \frac{19}{\sqrt{10}}$$ 8. Resultado final: $$\boxed{\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=3} = \frac{19}{\sqrt{10}}}$$