1. Problema: Calcular a derivada da função $$f(x) = \left(\frac{3x + 2}{2x + 1}\right)^5$$ usando regras de derivação. 2. Fórmula e regras importantes: - Para derivar uma potência, usamos a regra da cadeia: $$\frac{d}{dx}[g(x)^n] = n \cdot g(x)^{n-1} \cdot g'(x)$$ - Para derivar uma fração, usamos a regra do quociente: $$\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ 3. Definindo $$u = 3x + 2$$ e $$v = 2x + 1$$, calculamos as derivadas: $$u' = 3$$ $$v' = 2$$ 4. Derivando a fração $$g(x) = \frac{u}{v}$$: $$g'(x) = \frac{3(2x + 1) - (3x + 2)2}{(2x + 1)^2} = \frac{6x + 3 - 6x - 4}{(2x + 1)^2} = \frac{-1}{(2x + 1)^2}$$ 5. Aplicando a regra da cadeia para $$f(x) = g(x)^5$$: $$f'(x) = 5 \cdot g(x)^4 \cdot g'(x) = 5 \cdot \left(\frac{3x + 2}{2x + 1}\right)^4 \cdot \left(-\frac{1}{(2x + 1)^2}\right)$$ 6. Simplificando: $$f'(x) = -5 \cdot \frac{(3x + 2)^4}{(2x + 1)^4} \cdot \frac{1}{(2x + 1)^2} = -5 \cdot \frac{(3x + 2)^4}{(2x + 1)^6}$$ Resposta final: $$\boxed{f'(x) = -5 \frac{(3x + 2)^4}{(2x + 1)^6}}$$