1. Vamos calcular a derivada implícita $\frac{dy}{dx}$ da equação dada: $$\ln(y^2 + 2xy) + 50 = e^{\frac{x^2 y}{x^2 + y}}$$ 2. Primeiro, derivamos ambos os lados em relação a $x$. Lembre-se que $y$ é função de $x$, então usaremos a regra da cadeia e do produto. 3. Derivando o lado esquerdo: $$\frac{d}{dx} \left( \ln(y^2 + 2xy) + 50 \right) = \frac{1}{y^2 + 2xy} \cdot \frac{d}{dx}(y^2 + 2xy) + 0$$ 4. Derivando $y^2 + 2xy$: $$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$ $$\frac{d}{dx}(2xy) = 2 \left( y + x \frac{dy}{dx} \right)$$ 5. Portanto: $$\frac{d}{dx}(y^2 + 2xy) = 2y \frac{dy}{dx} + 2y + 2x \frac{dy}{dx}$$ 6. Logo, o lado esquerdo fica: $$\frac{1}{y^2 + 2xy} \left( 2y \frac{dy}{dx} + 2y + 2x \frac{dy}{dx} \right)$$ 7. Agora, derivamos o lado direito: $$\frac{d}{dx} \left( e^{\frac{x^2 y}{x^2 + y}} \right) = e^{\frac{x^2 y}{x^2 + y}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 y}{x^2 + y} \right)$$ 8. Para derivar $\frac{x^2 y}{x^2 + y}$, usamos a regra do quociente: $$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$$ onde $u = x^2 y$ e $v = x^2 + y$. 9. Derivando $u$: $$\frac{du}{dx} = 2x y + x^2 \frac{dy}{dx}$$ 10. Derivando $v$: $$\frac{dv}{dx} = 2x + \frac{dy}{dx}$$ 11. Substituindo na regra do quociente: $$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 y}{x^2 + y} \right) = \frac{(x^2 + y)(2x y + x^2 \frac{dy}{dx}) - x^2 y (2x + \frac{dy}{dx})}{(x^2 + y)^2}$$ 12. Portanto, a derivada do lado direito é: $$e^{\frac{x^2 y}{x^2 + y}} \cdot \frac{(x^2 + y)(2x y + x^2 \frac{dy}{dx}) - x^2 y (2x + \frac{dy}{dx})}{(x^2 + y)^2}$$ 13. Agora, igualamos as derivadas dos dois lados: $$\frac{1}{y^2 + 2xy} \left( 2y \frac{dy}{dx} + 2y + 2x \frac{dy}{dx} \right) = e^{\frac{x^2 y}{x^2 + y}} \cdot \frac{(x^2 + y)(2x y + x^2 \frac{dy}{dx}) - x^2 y (2x + \frac{dy}{dx})}{(x^2 + y)^2}$$ 14. Esta é a expressão para $\frac{dy}{dx}$ sem simplificação, conforme solicitado.