1. Planteamos el problema: Dada la función $$f(x)=2x^3+ax^2-bx+1$$, queremos analizar aplicaciones de las derivadas. 2. Recordemos que la derivada de una función polinómica se calcula usando la regla de potencia: $$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$$. 3. Derivamos la función paso a paso: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) + \frac{d}{dx}(ax^2) - \frac{d}{dx}(bx) + \frac{d}{dx}(1)$$ $$= 2 \cdot 3x^{3-1} + a \cdot 2x^{2-1} - b \cdot 1x^{1-1} + 0$$ $$= 6x^2 + 2ax - b$$ 4. La derivada $$f'(x) = 6x^2 + 2ax - b$$ nos permite encontrar puntos críticos para estudiar máximos, mínimos o puntos de inflexión. 5. Para encontrar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero: $$6x^2 + 2ax - b = 0$$ 6. Esta es una ecuación cuadrática en $$x$$. Usamos la fórmula general: $$x = \frac{-2a \pm \sqrt{(2a)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-b)}}{2 \cdot 6}$$ $$= \frac{-2a \pm \sqrt{4a^2 + 24b}}{12}$$ 7. Simplificamos la raíz y la expresión para obtener los valores de $$x$$ donde la función tiene extremos o puntos críticos. 8. Estos valores dependen de los parámetros $$a$$ y $$b$$, que deben ser conocidos o dados para un análisis más específico. Respuesta final: La derivada de la función es $$f'(x) = 6x^2 + 2ax - b$$ y los puntos críticos se encuentran resolviendo $$6x^2 + 2ax - b = 0$$.