1. El problema pide encontrar la derivada de la función $$g(x) = x^7 - 2x^5 + 5x^3 - 7x$$ usando los teoremas de derivación. 2. Recordemos que la derivada de una suma o resta de funciones es la suma o resta de sus derivadas, y que la derivada de $$x^n$$ es $$nx^{n-1}$$. 3. Aplicamos la derivada término a término: $$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^7) - \frac{d}{dx}(2x^5) + \frac{d}{dx}(5x^3) - \frac{d}{dx}(7x)$$ 4. Derivamos cada término usando la regla de potencia y la constante multiplicativa: $$g'(x) = 7x^{6} - 2 \cdot 5x^{4} + 5 \cdot 3x^{2} - 7$$ 5. Simplificamos los coeficientes: $$g'(x) = 7x^{6} - 10x^{4} + 15x^{2} - 7$$ 6. Por lo tanto, la derivada de la función es: $$\boxed{g'(x) = 7x^{6} - 10x^{4} + 15x^{2} - 7}$$