1. El problema nos pide encontrar la derivada de la función $$f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 1$$ usando los teoremas de derivación. 2. Recordemos que la derivada de una suma o resta de funciones es la suma o resta de las derivadas: $$\frac{d}{dx}[u(x) \pm v(x)] = u'(x) \pm v'(x)$$. 3. También, la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función: $$\frac{d}{dx}[c \cdot u(x)] = c \cdot u'(x)$$. 4. La derivada de una potencia de $$x$$ es: $$\frac{d}{dx}[x^n] = n x^{n-1}$$. 5. Aplicamos la derivada término a término: $$f'(x) = \frac{d}{dx}[3x^4] - \frac{d}{dx}[5x^2] + \frac{d}{dx}[1]$$ 6. Derivamos cada término: $$\frac{d}{dx}[3x^4] = 3 \cdot \frac{d}{dx}[x^4] = 3 \cdot 4x^{3} = 12x^{3}$$ $$\frac{d}{dx}[5x^2] = 5 \cdot \frac{d}{dx}[x^2] = 5 \cdot 2x = 10x$$ $$\frac{d}{dx}[1] = 0$$ 7. Por lo tanto, la derivada es: $$f'(x) = 12x^{3} - 10x + 0 = 12x^{3} - 10x$$ 8. Respuesta final: $$\boxed{f'(x) = 12x^{3} - 10x}$$