1. Planteamos el problema: Derivar la función $$f(x) = \sin \sqrt{\ln(1 - 3x)}$$ usando la regla de la cadena. 2. Recordemos que la regla de la cadena dice que si tenemos una función compuesta $$f(g(x))$$, su derivada es $$f'(g(x)) \cdot g'(x)$$. 3. Identificamos las funciones anidadas: - La función exterior es $$\sin(u)$$ donde $$u = \sqrt{\ln(1 - 3x)}$$. - La función intermedia es $$u = \sqrt{v}$$ donde $$v = \ln(1 - 3x)$$. - La función interior es $$v = \ln(w)$$ donde $$w = 1 - 3x$$. 4. Derivamos paso a paso: - Derivada de la función exterior: $$\frac{d}{du} \sin u = \cos u$$ - Derivada de la función intermedia: $$\frac{d}{dv} \sqrt{v} = \frac{1}{2\sqrt{v}}$$ - Derivada de la función interior: $$\frac{d}{dx} \ln w = \frac{1}{w} \cdot \frac{d}{dx} w = \frac{1}{1 - 3x} \cdot (-3) = \frac{-3}{1 - 3x}$$ 5. Aplicamos la regla de la cadena combinando todas las derivadas: $$f'(x) = \cos \sqrt{\ln(1 - 3x)} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\ln(1 - 3x)}} \cdot \frac{-3}{1 - 3x}$$ 6. Simplificamos la expresión: $$f'(x) = - \frac{3}{2 (1 - 3x) \sqrt{\ln(1 - 3x)}} \cdot \cos \sqrt{\ln(1 - 3x)}$$ 7. En resumen, la derivada es: $$\boxed{f'(x) = - \frac{3 \cos \sqrt{\ln(1 - 3x)}}{2 (1 - 3x) \sqrt{\ln(1 - 3x)}}}$$ Esta derivada se obtuvo aplicando la regla de la cadena tres veces, desde la función exterior $$\sin$$ hasta la función interior $$1 - 3x$$.