1. Planteamos el problema: Derivar la función $$f(x) = \sin \sqrt{\ln(1 - 3x)}$$ usando la regla de la cadena. 2. Recordemos la regla de la cadena: Si una función es composición de funciones, $$f(g(x))$$, entonces su derivada es $$f'(g(x)) \cdot g'(x)$$. 3. Identificamos las funciones anidadas: - Función exterior: $$\sin u$$ donde $$u = \sqrt{\ln(1 - 3x)}$$ - Función intermedia: $$u = \sqrt{v}$$ donde $$v = \ln(1 - 3x)$$ - Función interior: $$v = \ln(w)$$ donde $$w = 1 - 3x$$ 4. Derivamos paso a paso: - Derivada de la función exterior respecto a $$u$$: $$\frac{d}{du} \sin u = \cos u$$ - Derivada de la función intermedia respecto a $$v$$: $$\frac{d}{dv} \sqrt{v} = \frac{1}{2\sqrt{v}}$$ - Derivada de la función interior respecto a $$w$$: $$\frac{d}{dw} \ln w = \frac{1}{w}$$ - Derivada de $$w$$ respecto a $$x$$: $$\frac{d}{dx} (1 - 3x) = -3$$ 5. Aplicamos la regla de la cadena combinando todas las derivadas: $$ f'(x) = \cos \sqrt{\ln(1 - 3x)} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\ln(1 - 3x)}} \cdot \frac{1}{1 - 3x} \cdot (-3) $$ 6. Simplificamos la expresión: $$ f'(x) = -\frac{3 \cos \sqrt{\ln(1 - 3x)}}{2 \sqrt{\ln(1 - 3x)} (1 - 3x)} $$ 7. Explicación final: La derivada de $$f(x)$$ se obtiene multiplicando las derivadas de cada función anidada, respetando el orden desde la función más externa hasta la más interna, y simplificando el resultado para obtener la expresión final.