1. Vamos determinar a derivada da função $f(x) = 1 + \tan(2x)$ no ponto $x = \pi$ usando a definição de derivada. 2. A definição de derivada no ponto $a$ é dada por: $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ 3. Substituindo $f(x)$ e $a = \pi$ temos: $$f'(\pi) = \lim_{h \to 0} \frac{1 + \tan(2(\pi + h)) - (1 + \tan(2\pi))}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\tan(2\pi + 2h) - \tan(2\pi)}{h}$$ 4. Sabemos que $\tan(2\pi) = 0$ porque $\tan$ tem período $\pi$ e $\tan(0) = 0$. 5. Então: $$f'(\pi) = \lim_{h \to 0} \frac{\tan(2\pi + 2h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\tan(2h)}{h}$$ 6. Usando a substituição $u = 2h$, então quando $h \to 0$, $u \to 0$ e $h = \frac{u}{2}$: $$f'(\pi) = \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{\frac{u}{2}} = \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} \cdot 2$$ 7. Sabemos que $\lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 1$. 8. Portanto: $$f'(\pi) = 1 \cdot 2 = 2$$ Resposta final: $f'(\pi) = 2$.