1. Vamos determinar a derivada da função $f(x) = 1 + \tan(2x)$ no ponto $x = \pi$ usando a definição de derivada. 2. A definição da derivada de $f$ em $x = a$ é: $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ 3. Substituindo $a = \pi$ e $f(x) = 1 + \tan(2x)$: $$f'(\pi) = \lim_{h \to 0} \frac{1 + \tan(2(\pi + h)) - (1 + \tan(2\pi))}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\tan(2\pi + 2h) - \tan(2\pi)}{h}$$ 4. Sabemos que $\tan(2\pi) = 0$ porque $\tan$ tem período $\pi$ e $2\pi$ é múltiplo de $\pi$. 5. Portanto: $$f'(\pi) = \lim_{h \to 0} \frac{\tan(2\pi + 2h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\tan(2h)}{h}$$ 6. Usando a substituição $k = 2h$, então quando $h \to 0$, $k \to 0$ e: $$f'(\pi) = \lim_{k \to 0} \frac{\tan(k)}{k/2} = \lim_{k \to 0} \frac{\tan(k)}{k} \cdot 2$$ 7. Sabemos que $\lim_{k \to 0} \frac{\tan(k)}{k} = 1$, logo: $$f'(\pi) = 1 \times 2 = 2$$ 8. Portanto, a derivada da função $f(x) = 1 + \tan(2x)$ no ponto $x = \pi$ é: $$\boxed{2}$$