1. El problema es derivar la función $$f(x) = \tan(\sin(\sqrt{5x}))$$ usando la regla de la cadena. 2. La regla de la cadena dice que si tienes una función compuesta $$f(g(x))$$, su derivada es $$f'(g(x)) \cdot g'(x)$$. 3. Identificamos las funciones anidadas: - Función exterior: $$\tan(u)$$ donde $$u = \sin(v)$$ - Función intermedia: $$\sin(v)$$ donde $$v = \sqrt{5x}$$ - Función interior: $$\sqrt{5x} = (5x)^{1/2}$$ 4. Derivamos paso a paso: - Derivada de $$\tan(u)$$ es $$\sec^2(u) \cdot u'$$ - Derivada de $$\sin(v)$$ es $$\cos(v) \cdot v'$$ - Derivada de $$v = (5x)^{1/2}$$ es $$\frac{1}{2}(5x)^{-1/2} \cdot 5 = \frac{5}{2\sqrt{5x}}$$ 5. Aplicamos la regla de la cadena completa: $$ f'(x) = \sec^2(\sin(\sqrt{5x})) \cdot \cos(\sqrt{5x}) \cdot \frac{5}{2\sqrt{5x}} $$ 6. Explicación sencilla: Primero derivamos la tangente, luego multiplicamos por la derivada del seno, y finalmente por la derivada de la raíz cuadrada interna. 7. Resultado final: $$ f'(x) = \sec^2\bigl(\sin(\sqrt{5x})\bigr) \cdot \cos(\sqrt{5x}) \cdot \frac{5}{2\sqrt{5x}} $$