1. Planteamos el problema: Calcular la derivada de cada función dada en el ejercicio 3 y simplificar al máximo. 2. Recordamos que para derivar funciones compuestas, productos, cocientes y potencias, usamos las reglas de derivación: regla de la suma, producto, cociente, cadena y potencias. 3. Derivamos cada función paso a paso: a) $f(x) = \frac{\sqrt{3x}}{x^2} = \frac{(3x)^{1/2}}{x^2} = (3x)^{1/2} \cdot x^{-2}$ Usamos la regla del producto: $$f'(x) = \frac{1}{2}(3x)^{-1/2} \cdot 3 \cdot x^{-2} + (3x)^{1/2} \cdot (-2) x^{-3}$$ Simplificamos: $$f'(x) = \frac{3}{2} (3x)^{-1/2} x^{-2} - 2 (3x)^{1/2} x^{-3}$$ Expresamos con potencias: $$f'(x) = \frac{3}{2} 3^{-1/2} x^{-1/2} x^{-2} - 2 3^{1/2} x^{1/2} x^{-3} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} x^{-5/2} - 2 \sqrt{3} x^{-5/2}$$ Combinamos términos: $$f'(x) = \left( \frac{3}{2 \sqrt{3}} - 2 \sqrt{3} \right) x^{-5/2} = \left( \frac{3}{2 \sqrt{3}} - \frac{4 \sqrt{3}}{2} \right) x^{-5/2} = \frac{3 - 4 \cdot 3}{2 \sqrt{3}} x^{-5/2} = \frac{3 - 12}{2 \sqrt{3}} x^{-5/2} = -\frac{9}{2 \sqrt{3}} x^{-5/2}$$ b) $f(x) = (3x - 2) e^x$ Usamos la regla del producto: $$f'(x) = (3) e^x + (3x - 2) e^x = (3 + 3x - 2) e^x = (3x + 1) e^x$$ c) $f(x) = \frac{x - 3}{x^2 + 2}$ Usamos la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(1)(x^2 + 2) - (x - 3)(2x)}{(x^2 + 2)^2} = \frac{x^2 + 2 - 2x^2 + 6x}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-x^2 + 6x + 2}{(x^2 + 2)^2}$$ d) $f(x) = (x^2 + 5)^6$ Usamos la regla de la cadena: $$f'(x) = 6 (x^2 + 5)^5 \cdot 2x = 12x (x^2 + 5)^5$$ e) $f(x) = \ln(3x^2 - 6)$ Derivada del logaritmo: $$f'(x) = \frac{6x}{3x^2 - 6}$$ f) $f(x) = -5x^5 + 8x^3 - x^2 + 8$ Derivamos término a término: $$f'(x) = -25x^4 + 24x^2 - 2x$$ g) $f(x) = \frac{2}{x} + \frac{x}{2} = 2x^{-1} + \frac{x}{2}$ Derivamos: $$f'(x) = -2x^{-2} + \frac{1}{2}$$ h) $f(x) = (4x^2 - 5x + 1)^3$ Regla de la cadena: $$f'(x) = 3(4x^2 - 5x + 1)^2 (8x - 5)$$ i) $f(x) = x^5 \cdot 2x^3 = 2x^{8}$ Derivamos: $$f'(x) = 16x^{7}$$ j) $f(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 3} = (2x^2 - 3)^{1/3}$ Regla de la cadena: $$f'(x) = \frac{1}{3} (2x^2 - 3)^{-2/3} \cdot 4x = \frac{4x}{3 (2x^2 - 3)^{2/3}}$$ 4. Resumen final con las derivadas simplificadas: a) $f'(x) = -\frac{9}{2 \sqrt{3}} x^{-5/2}$ b) $f'(x) = (3x + 1) e^x$ c) $f'(x) = \frac{-x^2 + 6x + 2}{(x^2 + 2)^2}$ d) $f'(x) = 12x (x^2 + 5)^5$ e) $f'(x) = \frac{6x}{3x^2 - 6}$ f) $f'(x) = -25x^4 + 24x^2 - 2x$ g) $f'(x) = -2x^{-2} + \frac{1}{2}$ h) $f'(x) = 3(4x^2 - 5x + 1)^2 (8x - 5)$ i) $f'(x) = 16x^{7}$ j) $f'(x) = \frac{4x}{3 (2x^2 - 3)^{2/3}}$ \boxed{\text{Derivadas calculadas y simplificadas correctamente.}}