1. **Problema:** Derivar la función $$y = \sqrt{\sin^4(x) + \cos^5(x)}$$. 2. **Fórmula y reglas:** Usamos la regla de la cadena y la suma. Para $$y = \sqrt{u} = u^{1/2}$$, $$y' = \frac{1}{2} u^{-1/2} u'$$. 3. Definimos $$u = \sin^4(x) + \cos^5(x)$$. 4. Derivamos $$u$$: $$u' = 4 \sin^3(x) \cos(x) + 5 \cos^4(x)(-\sin(x)) = 4 \sin^3(x) \cos(x) - 5 \cos^4(x) \sin(x)$$. 5. Derivada de $$y$$: $$y' = \frac{1}{2} (\sin^4(x) + \cos^5(x))^{-1/2} \left(4 \sin^3(x) \cos(x) - 5 \cos^4(x) \sin(x)\right)$$. --- 1. **Problema:** Derivar $$c(x) = \sin^3(x) \cdot \ln(x-1)$$. 2. **Fórmulas:** Regla del producto: $$(fg)' = f'g + fg'$$. 3. Derivadas: $$f = \sin^3(x), f' = 3 \sin^2(x) \cos(x)$$ $$g = \ln(x-1), g' = \frac{1}{x-1}$$ 4. Aplicamos regla del producto: $$c'(x) = 3 \sin^2(x) \cos(x) \ln(x-1) + \sin^3(x) \frac{1}{x-1}$$. --- 1. **Problema:** Derivar $$e(x) = \frac{\arccos(5x^2 - 3x)}{3x + 5}$$. 2. **Fórmulas:** Regla del cociente: $$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$. 3. Derivadas: $$f = \arccos(5x^2 - 3x), f' = -\frac{1}{\sqrt{1-(5x^2 - 3x)^2}} (10x - 3)$$ $$g = 3x + 5, g' = 3$$ 4. Aplicamos regla del cociente: $$e'(x) = \frac{-\frac{10x - 3}{\sqrt{1-(5x^2 - 3x)^2}} (3x + 5) - \arccos(5x^2 - 3x) \cdot 3}{(3x + 5)^2}$$. 5. Simplificamos mostrando cancelación: $$e'(x) = \frac{\cancel{(3x + 5)} \left(-\frac{10x - 3}{\sqrt{1-(5x^2 - 3x)^2}}\right) - 3 \arccos(5x^2 - 3x) \cancel{(3x + 5)}}{\cancel{(3x + 5)^2} (3x + 5)} = \frac{- (10x - 3)(3x + 5)/\sqrt{1-(5x^2 - 3x)^2} - 3 \arccos(5x^2 - 3x)(3x + 5)}{(3x + 5)^2}$$. **Respuesta final:** $$y' = \frac{1}{2} (\sin^4(x) + \cos^5(x))^{-1/2} \left(4 \sin^3(x) \cos(x) - 5 \cos^4(x) \sin(x)\right)$$ $$c'(x) = 3 \sin^2(x) \cos(x) \ln(x-1) + \frac{\sin^3(x)}{x-1}$$ $$e'(x) = \frac{-\frac{10x - 3}{\sqrt{1-(5x^2 - 3x)^2}} (3x + 5) - 3 \arccos(5x^2 - 3x)}{(3x + 5)^2}$$