1. El primer problema es encontrar la derivada de la función $$y = \ln(\sqrt{x^2 + 1})$$. 2. Recordemos que $$\ln(\sqrt{u}) = \frac{1}{2} \ln(u)$$ y que la derivada de $$\ln(u)$$ es $$\frac{1}{u} \frac{du}{dx}$$. 3. Aplicamos la regla de la cadena: $$y = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1)$$ 4. Derivamos: $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1)$$ 5. Calculamos $$\frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$$. 6. Sustituimos: $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{\cancel{2}x}{2 \cancel{(x^2 + 1)}} = \frac{x}{x^2 + 1}$$ 7. Por lo tanto, la derivada es $$\boxed{\frac{x}{x^2 + 1}}$$. --- El segundo problema es la ecuación implícita $$\sin(x + y) = y^2 \cos x$$. Para derivar implícitamente, derivamos ambos lados respecto a $$x$$: $$\frac{d}{dx} \sin(x + y) = \frac{d}{dx} (y^2 \cos x)$$ Usamos la regla de la cadena y producto: $$\cos(x + y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx}) = 2y \frac{dy}{dx} \cos x - y^2 \sin x$$ Reorganizamos para despejar $$\frac{dy}{dx}$$: $$\cos(x + y) + \cos(x + y) \frac{dy}{dx} = 2y \frac{dy}{dx} \cos x - y^2 \sin x$$ Agrupamos términos con $$\frac{dy}{dx}$$: $$\cos(x + y) \frac{dy}{dx} - 2y \cos x \frac{dy}{dx} = - y^2 \sin x - \cos(x + y)$$ Factorizamos $$\frac{dy}{dx}$$: $$\frac{dy}{dx} (\cos(x + y) - 2y \cos x) = - y^2 \sin x - \cos(x + y)$$ Finalmente: $$\frac{dy}{dx} = \frac{- y^2 \sin x - \cos(x + y)}{\cos(x + y) - 2y \cos x}$$ --- El tercer problema es la ecuación $$2x e^y = 3y - 2$$. Derivamos implícitamente respecto a $$x$$: $$\frac{d}{dx} (2x e^y) = \frac{d}{dx} (3y - 2)$$ Usamos la regla del producto y cadena: $$2 e^y + 2x e^y \frac{dy}{dx} = 3 \frac{dy}{dx}$$ Reorganizamos para despejar $$\frac{dy}{dx}$$: $$2x e^y \frac{dy}{dx} - 3 \frac{dy}{dx} = - 2 e^y$$ Factorizamos $$\frac{dy}{dx}$$: $$\frac{dy}{dx} (2x e^y - 3) = - 2 e^y$$ Despejamos: $$\frac{dy}{dx} = \frac{- 2 e^y}{2x e^y - 3}$$