1. Planteamos el problema: Derivar las funciones trascendentes dadas. 2. Recordemos las reglas básicas para derivar funciones trascendentes: - Para $y = a^x$, la derivada es $y' = a^x \ln(a)$. - Para $y = e^x$, la derivada es $y' = e^x$. - Para $y = \ln(f(x))$, la derivada es $y' = \frac{f'(x)}{f(x)}$. - Para $y = \log_a(f(x))$, la derivada es $y' = \frac{f'(x)}{f(x) \ln(a)}$. 3. Derivamos cada función paso a paso: **a) $y = 7^x$** $$y' = 7^x \ln(7)$$ **b) $s(l) = e^l$** $$s'(l) = e^l$$ **c) $q(k) = e^{(3k - 5)^2}$** Usamos regla de la cadena: $$q'(k) = e^{(3k - 5)^2} \cdot \frac{d}{dk}[(3k - 5)^2]$$ Derivamos el exponente: $$\frac{d}{dk}[(3k - 5)^2] = 2(3k - 5) \cdot 3 = 6(3k - 5)$$ Por lo tanto: $$q'(k) = e^{(3k - 5)^2} \cdot 6(3k - 5)$$ **d) $p(r) = \log_4(-r^3 + 4r^2 - 45r + 105)$** Usamos la fórmula para logaritmo base $a$: $$p'(r) = \frac{\frac{d}{dr}[-r^3 + 4r^2 - 45r + 105]}{(-r^3 + 4r^2 - 45r + 105) \ln(4)}$$ Derivamos el numerador: $$\frac{d}{dr}[-r^3 + 4r^2 - 45r + 105] = -3r^2 + 8r - 45$$ Por lo tanto: $$p'(r) = \frac{-3r^2 + 8r - 45}{(-r^3 + 4r^2 - 45r + 105) \ln(4)}$$ **e) $g(v) = \ln(3v^4 + 6v^2 - 2\pi v + 78)$** Usamos regla de la cadena: $$g'(v) = \frac{\frac{d}{dv}[3v^4 + 6v^2 - 2\pi v + 78]}{3v^4 + 6v^2 - 2\pi v + 78}$$ Derivamos el numerador: $$\frac{d}{dv}[3v^4 + 6v^2 - 2\pi v + 78] = 12v^3 + 12v - 2\pi$$ Por lo tanto: $$g'(v) = \frac{12v^3 + 12v - 2\pi}{3v^4 + 6v^2 - 2\pi v + 78}$$ 4. Resumen final: - $y' = 7^x \ln(7)$ - $s'(l) = e^l$ - $q'(k) = e^{(3k - 5)^2} \cdot 6(3k - 5)$ - $p'(r) = \frac{-3r^2 + 8r - 45}{(-r^3 + 4r^2 - 45r + 105) \ln(4)}$ - $g'(v) = \frac{12v^3 + 12v - 2\pi}{3v^4 + 6v^2 - 2\pi v + 78}$ Estas son las derivadas de las funciones trascendentes solicitadas.