1. Planteamos el problema: Una escalera de 10 m está apoyada en una pared vertical. La base se desliza alejándose de la pared a 0,50 m/s. Se pide determinar la rapidez con la que desciende el extremo superior cuando la base está a 6 m de la pared. 2. Definimos variables: - Sea $x$ la distancia de la base de la escalera a la pared (en metros). - Sea $y$ la altura del extremo superior de la escalera sobre el suelo (en metros). 3. Relación entre $x$ y $y$: La escalera forma un triángulo rectángulo con la pared y el suelo, con hipotenusa fija de 10 m. Por el teorema de Pitágoras: $$x^2 + y^2 = 10^2 = 100$$ 4. Derivamos respecto al tiempo $t$ para relacionar las velocidades: $$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$$ Simplificando: $$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$$ 5. Despejamos $\frac{dy}{dt}$ (la rapidez con la que desciende el extremo superior): $$\frac{dy}{dt} = - \frac{x}{y} \frac{dx}{dt}$$ 6. Evaluamos en el instante dado: - $x = 6$ m - $\frac{dx}{dt} = 0.50$ m/s (la base se aleja, por lo que es positivo) - Calculamos $y$ usando Pitágoras: $$y = \sqrt{100 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ m}$$ 7. Sustituimos valores: $$\frac{dy}{dt} = - \frac{6}{8} \times 0.50 = - \frac{3}{4} \times 0.50 = -0.375 \text{ m/s}$$ 8. Interpretación: El signo negativo indica que el extremo superior está descendiendo a una velocidad de 0.375 m/s cuando la base está a 6 m de la pared. **Respuesta final:** La rapidez con la que desciende el extremo superior es $0.375$ m/s.