1. Vamos estudar completamente a função $f(x) = \sqrt{x} \ln x$. O domínio da função é $x > 0$ porque $\sqrt{x}$ e $\ln x$ só estão definidos para $x > 0$. 2. Derivada: Usamos a regra do produto para derivar $f(x) = u(x)v(x)$ com $u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$ e $v(x) = \ln x$. 3. Derivadas parciais: $u'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2}$ e $v'(x) = \frac{1}{x}$. 4. Aplicando a regra do produto: $$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} \ln x + x^{1/2} \cdot \frac{1}{x}$$ 5. Simplificando o segundo termo: $$x^{1/2} \cdot \frac{1}{x} = x^{1/2 - 1} = x^{-1/2}$$ 6. Logo: $$f'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} \ln x + x^{-1/2} = x^{-1/2} \left( \frac{1}{2} \ln x + 1 \right)$$ 7. Para encontrar os pontos críticos, igualamos $f'(x) = 0$: $$x^{-1/2} \left( \frac{1}{2} \ln x + 1 \right) = 0$$ 8. Como $x^{-1/2} \neq 0$ para $x > 0$, temos: $$\frac{1}{2} \ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -2 \Rightarrow x = e^{-2}$$ 9. Para determinar o comportamento da função, analisamos o sinal de $f'(x)$: - Para $0 < x < e^{-2}$, $\ln x < -2$, então $\frac{1}{2} \ln x + 1 < 0$, logo $f'(x) < 0$ (função decrescente). - Para $x > e^{-2}$, $\frac{1}{2} \ln x + 1 > 0$, logo $f'(x) > 0$ (função crescente). 10. Portanto, $x = e^{-2}$ é um ponto mínimo local. 11. Comportamento nos extremos do domínio: - Quando $x \to 0^+$, $\sqrt{x} \to 0$ e $\ln x \to -\infty$, então $f(x) = \sqrt{x} \ln x \to 0 \cdot (-\infty)$. Usamos limite: $$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x^{-1/2}}$$ Aplicando regra de L'Hôpital: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{2} x^{-3/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-\frac{1}{2} x^{-3/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \cdot \frac{-2}{x^{-3/2}} = \lim_{x \to 0^+} -2 x^{1/2} = 0$$ - Quando $x \to +\infty$, $\sqrt{x} \to +\infty$ e $\ln x \to +\infty$, então $f(x) \to +\infty$. 12. Resumo: - Domínio: $x > 0$ - Ponto crítico e mínimo local em $x = e^{-2}$ - Função decrescente em $(0, e^{-2})$ - Função crescente em $(e^{-2}, +\infty)$ - Limite em $0^+$ é $0$ - Limite em $+\infty$ é $+\infty$